Theorem ordpipq 9764

Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ordpipq	|- ( <. A , B >. <pQ <. C , D >. <-> ( A .N D ) <N ( C .N B ) )

Proof of Theorem ordpipq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 4932	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
2		opex 4932	. . 3 |- <. C , D >. e. _V
3		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = <. A , B >. -> ( x e. ( N. X. N. ) <-> <. A , B >. e. ( N. X. N. ) ) )
4	3	anbi1d 741	. . . . 5 |- ( x = <. A , B >. -> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) <-> ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) )
5	4	anbi1d 741	. . . 4 |- ( x = <. A , B >. -> ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( 1st ` x ) .N ( 2nd ` y ) ) <N ( ( 1st ` y ) .N ( 2nd ` x ) ) ) <-> ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( 1st ` x ) .N ( 2nd ` y ) ) <N ( ( 1st ` y ) .N ( 2nd ` x ) ) ) ) )
6		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = <. A , B >. -> ( 1st ` x ) = ( 1st ` <. A , B >. ) )
7		opelxp 5146	. . . . . . . . . 10 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) <-> ( A e. N. /\ B e. N. ) )
8		op1stg 7180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( 1st ` <. A , B >. ) = A )
9	7, 8	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( 1st ` <. A , B >. ) = A )
10	9	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) -> ( 1st ` <. A , B >. ) = A )
11	6, 10	sylan9eq 2676	. . . . . . 7 |- ( ( x = <. A , B >. /\ ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) -> ( 1st ` x ) = A )
12	11	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( x = <. A , B >. /\ ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) -> ( ( 1st ` x ) .N ( 2nd ` y ) ) = ( A .N ( 2nd ` y ) ) )
13		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = <. A , B >. -> ( 2nd ` x ) = ( 2nd ` <. A , B >. ) )
14		op2ndg 7181	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( 2nd ` <. A , B >. ) = B )
15	7, 14	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( 2nd ` <. A , B >. ) = B )
16	15	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) -> ( 2nd ` <. A , B >. ) = B )
17	13, 16	sylan9eq 2676	. . . . . . 7 |- ( ( x = <. A , B >. /\ ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) -> ( 2nd ` x ) = B )
18	17	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( x = <. A , B >. /\ ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) -> ( ( 1st ` y ) .N ( 2nd ` x ) ) = ( ( 1st ` y ) .N B ) )
19	12, 18	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( ( x = <. A , B >. /\ ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) -> ( ( ( 1st ` x ) .N ( 2nd ` y ) ) <N ( ( 1st ` y ) .N ( 2nd ` x ) ) <-> ( A .N ( 2nd ` y ) ) <N ( ( 1st ` y ) .N B ) ) )
20	19	pm5.32da 673	. . . 4 |- ( x = <. A , B >. -> ( ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( 1st ` x ) .N ( 2nd ` y ) ) <N ( ( 1st ` y ) .N ( 2nd ` x ) ) ) <-> ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( A .N ( 2nd ` y ) ) <N ( ( 1st ` y ) .N B ) ) ) )
21	5, 20	bitrd 268	. . 3 |- ( x = <. A , B >. -> ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( 1st ` x ) .N ( 2nd ` y ) ) <N ( ( 1st ` y ) .N ( 2nd ` x ) ) ) <-> ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( A .N ( 2nd ` y ) ) <N ( ( 1st ` y ) .N B ) ) ) )
22		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( y = <. C , D >. -> ( y e. ( N. X. N. ) <-> <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) )
23	22	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( y = <. C , D >. -> ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) <-> ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) ) )
24	23	anbi1d 741	. . . 4 |- ( y = <. C , D >. -> ( ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( A .N ( 2nd ` y ) ) <N ( ( 1st ` y ) .N B ) ) <-> ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) /\ ( A .N ( 2nd ` y ) ) <N ( ( 1st ` y ) .N B ) ) ) )
25		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = <. C , D >. -> ( 2nd ` y ) = ( 2nd ` <. C , D >. ) )
26		opelxp 5146	. . . . . . . . . 10 |- ( <. C , D >. e. ( N. X. N. ) <-> ( C e. N. /\ D e. N. ) )
27		op2ndg 7181	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. N. /\ D e. N. ) -> ( 2nd ` <. C , D >. ) = D )
28	26, 27	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( <. C , D >. e. ( N. X. N. ) -> ( 2nd ` <. C , D >. ) = D )
29	28	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) -> ( 2nd ` <. C , D >. ) = D )
30	25, 29	sylan9eq 2676	. . . . . . 7 |- ( ( y = <. C , D >. /\ ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) ) -> ( 2nd ` y ) = D )
31	30	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( y = <. C , D >. /\ ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) ) -> ( A .N ( 2nd ` y ) ) = ( A .N D ) )
32		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = <. C , D >. -> ( 1st ` y ) = ( 1st ` <. C , D >. ) )
33		op1stg 7180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. N. /\ D e. N. ) -> ( 1st ` <. C , D >. ) = C )
34	26, 33	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( <. C , D >. e. ( N. X. N. ) -> ( 1st ` <. C , D >. ) = C )
35	34	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) -> ( 1st ` <. C , D >. ) = C )
36	32, 35	sylan9eq 2676	. . . . . . 7 |- ( ( y = <. C , D >. /\ ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) ) -> ( 1st ` y ) = C )
37	36	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( y = <. C , D >. /\ ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) ) -> ( ( 1st ` y ) .N B ) = ( C .N B ) )
38	31, 37	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( ( y = <. C , D >. /\ ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) ) -> ( ( A .N ( 2nd ` y ) ) <N ( ( 1st ` y ) .N B ) <-> ( A .N D ) <N ( C .N B ) ) )
39	38	pm5.32da 673	. . . 4 |- ( y = <. C , D >. -> ( ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) /\ ( A .N ( 2nd ` y ) ) <N ( ( 1st ` y ) .N B ) ) <-> ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) /\ ( A .N D ) <N ( C .N B ) ) ) )
40	24, 39	bitrd 268	. . 3 |- ( y = <. C , D >. -> ( ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( A .N ( 2nd ` y ) ) <N ( ( 1st ` y ) .N B ) ) <-> ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) /\ ( A .N D ) <N ( C .N B ) ) ) )
41		df-ltpq 9732	. . 3 |- <pQ = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( 1st ` x ) .N ( 2nd ` y ) ) <N ( ( 1st ` y ) .N ( 2nd ` x ) ) ) }
42	1, 2, 21, 40, 41	brab 4998	. 2 |- ( <. A , B >. <pQ <. C , D >. <-> ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) /\ ( A .N D ) <N ( C .N B ) ) )
43		simpr 477	. . 3 |- ( ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) /\ ( A .N D ) <N ( C .N B ) ) -> ( A .N D ) <N ( C .N B ) )
44		ltrelpi 9711	. . . . . 6 |- <N C_ ( N. X. N. )
45	44	brel 5168	. . . . 5 |- ( ( A .N D ) <N ( C .N B ) -> ( ( A .N D ) e. N. /\ ( C .N B ) e. N. ) )
46		dmmulpi 9713	. . . . . . 7 |- dom .N = ( N. X. N. )
47		0npi 9704	. . . . . . 7 |- -. (/) e. N.
48	46, 47	ndmovrcl 6820	. . . . . 6 |- ( ( A .N D ) e. N. -> ( A e. N. /\ D e. N. ) )
49	46, 47	ndmovrcl 6820	. . . . . 6 |- ( ( C .N B ) e. N. -> ( C e. N. /\ B e. N. ) )
50	48, 49	anim12i 590	. . . . 5 |- ( ( ( A .N D ) e. N. /\ ( C .N B ) e. N. ) -> ( ( A e. N. /\ D e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) )
51		opelxpi 5148	. . . . . . 7 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( N. X. N. ) )
52	51	ad2ant2rl 785	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ D e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> <. A , B >. e. ( N. X. N. ) )
53		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. N. /\ D e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> C e. N. )
54		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. N. /\ D e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> D e. N. )
55		opelxpi 5148	. . . . . . 7 |- ( ( C e. N. /\ D e. N. ) -> <. C , D >. e. ( N. X. N. ) )
56	53, 54, 55	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ D e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> <. C , D >. e. ( N. X. N. ) )
57	52, 56	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ D e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) )
58	45, 50, 57	3syl 18	. . . 4 |- ( ( A .N D ) <N ( C .N B ) -> ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) )
59	58	ancri 575	. . 3 |- ( ( A .N D ) <N ( C .N B ) -> ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) /\ ( A .N D ) <N ( C .N B ) ) )
60	43, 59	impbii 199	. 2 |- ( ( ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( N. X. N. ) ) /\ ( A .N D ) <N ( C .N B ) ) <-> ( A .N D ) <N ( C .N B ) )
61	42, 60	bitri 264	1 |- ( <. A , B >. <pQ <. C , D >. <-> ( A .N D ) <N ( C .N B ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   N.cnpi 9666   .N cmi 9668   <N clti 9669   <pQ cltpq 9672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-omul 7565  df-ni 9694  df-mi 9696  df-lti 9697  df-ltpq 9732

This theorem is referenced by:  ordpinq  9765  lterpq  9792  ltanq  9793  ltmnq  9794  1lt2nq  9795