Theorem ordthauslem 21187

Description: Lemma for ordthaus 21188. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordthauslem.1	|- X = dom R

Assertion

Ref	Expression
ordthauslem	|- ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A R B -> ( A =/= B -> E. m e. (ordTop ` R ) E. n e. (ordTop ` R ) ( A e. m /\ B e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )

Distinct variable groups:   m, n, A   B, m, n   R, m, n   m, X, n

Proof of Theorem ordthauslem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1100	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) } = (/) ) -> R e. TosetRel )
2		simpll3 1102	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) } = (/) ) -> B e. X )
3		ordthauslem.1	. . . . . . 7 |- X = dom R
4	3	ordtopn2 20999	. . . . . 6 |- ( ( R e. TosetRel /\ B e. X ) -> { x e. X | -. B R x } e. (ordTop ` R ) )
5	1, 2, 4	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) } = (/) ) -> { x e. X | -. B R x } e. (ordTop ` R ) )
6		simpll2 1101	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) } = (/) ) -> A e. X )
7	3	ordtopn1 20998	. . . . . 6 |- ( ( R e. TosetRel /\ A e. X ) -> { x e. X | -. x R A } e. (ordTop ` R ) )
8	1, 6, 7	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) } = (/) ) -> { x e. X | -. x R A } e. (ordTop ` R ) )
9		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) -> A =/= B )
10		simpl1 1064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) -> R e. TosetRel )
11		tsrps 17221	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. TosetRel -> R e. PosetRel )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) -> R e. PosetRel )
13		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) -> A R B )
14		psasym 17210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. PosetRel /\ A R B /\ B R A ) -> A = B )
15	14	3expia 1267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. PosetRel /\ A R B ) -> ( B R A -> A = B ) )
16	12, 13, 15	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) -> ( B R A -> A = B ) )
17	16	necon3ad 2807	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) -> ( A =/= B -> -. B R A ) )
18	9, 17	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) -> -. B R A )
19	18	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) } = (/) ) -> -. B R A )
20		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( B R x <-> B R A ) )
21	20	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( -. B R x <-> -. B R A ) )
22	21	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( A e. { x e. X | -. B R x } <-> ( A e. X /\ -. B R A ) )
23	6, 19, 22	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) } = (/) ) -> A e. { x e. X | -. B R x } )
24		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( x R A <-> B R A ) )
25	24	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( -. x R A <-> -. B R A ) )
26	25	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( B e. { x e. X | -. x R A } <-> ( B e. X /\ -. B R A ) )
27	2, 19, 26	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) } = (/) ) -> B e. { x e. X | -. x R A } )
28		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) } = (/) ) -> { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) } = (/) )
29		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( m = { x e. X | -. B R x } -> ( A e. m <-> A e. { x e. X | -. B R x } ) )
30		ineq1 3807	. . . . . . . 8 |- ( m = { x e. X | -. B R x } -> ( m i^i n ) = ( { x e. X | -. B R x } i^i n ) )
31	30	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( m = { x e. X | -. B R x } -> ( ( m i^i n ) = (/) <-> ( { x e. X | -. B R x } i^i n ) = (/) ) )
32	29, 31	3anbi13d 1401	. . . . . 6 |- ( m = { x e. X | -. B R x } -> ( ( A e. m /\ B e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) <-> ( A e. { x e. X | -. B R x } /\ B e. n /\ ( { x e. X | -. B R x } i^i n ) = (/) ) ) )
33		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( n = { x e. X | -. x R A } -> ( B e. n <-> B e. { x e. X | -. x R A } ) )
34		ineq2 3808	. . . . . . . . 9 |- ( n = { x e. X | -. x R A } -> ( { x e. X | -. B R x } i^i n ) = ( { x e. X | -. B R x } i^i { x e. X | -. x R A } ) )
35		inrab 3899	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. X | -. B R x } i^i { x e. X | -. x R A } ) = { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) }
36	34, 35	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( n = { x e. X | -. x R A } -> ( { x e. X | -. B R x } i^i n ) = { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) } )
37	36	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( n = { x e. X | -. x R A } -> ( ( { x e. X | -. B R x } i^i n ) = (/) <-> { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) } = (/) ) )
38	33, 37	3anbi23d 1402	. . . . . 6 |- ( n = { x e. X | -. x R A } -> ( ( A e. { x e. X | -. B R x } /\ B e. n /\ ( { x e. X | -. B R x } i^i n ) = (/) ) <-> ( A e. { x e. X | -. B R x } /\ B e. { x e. X | -. x R A } /\ { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) } = (/) ) ) )
39	32, 38	rspc2ev 3324	. . . . 5 |- ( ( { x e. X | -. B R x } e. (ordTop ` R ) /\ { x e. X | -. x R A } e. (ordTop ` R ) /\ ( A e. { x e. X | -. B R x } /\ B e. { x e. X | -. x R A } /\ { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) } = (/) ) ) -> E. m e. (ordTop ` R ) E. n e. (ordTop ` R ) ( A e. m /\ B e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) )
40	5, 8, 23, 27, 28, 39	syl113anc 1338	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) } = (/) ) -> E. m e. (ordTop ` R ) E. n e. (ordTop ` R ) ( A e. m /\ B e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) )
41	40	ex 450	. . 3 |- ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) -> ( { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) } = (/) -> E. m e. (ordTop ` R ) E. n e. (ordTop ` R ) ( A e. m /\ B e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
42		rabn0 3958	. . . 4 |- ( { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) } =/= (/) <-> E. x e. X ( -. B R x /\ -. x R A ) )
43		simpll1 1100	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ ( x e. X /\ ( -. B R x /\ -. x R A ) ) ) -> R e. TosetRel )
44		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ ( x e. X /\ ( -. B R x /\ -. x R A ) ) ) -> x e. X )
45	3	ordtopn2 20999	. . . . . . 7 |- ( ( R e. TosetRel /\ x e. X ) -> { y e. X | -. x R y } e. (ordTop ` R ) )
46	43, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ ( x e. X /\ ( -. B R x /\ -. x R A ) ) ) -> { y e. X | -. x R y } e. (ordTop ` R ) )
47	3	ordtopn1 20998	. . . . . . 7 |- ( ( R e. TosetRel /\ x e. X ) -> { y e. X | -. y R x } e. (ordTop ` R ) )
48	43, 44, 47	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ ( x e. X /\ ( -. B R x /\ -. x R A ) ) ) -> { y e. X | -. y R x } e. (ordTop ` R ) )
49		simpll2 1101	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ ( x e. X /\ ( -. B R x /\ -. x R A ) ) ) -> A e. X )
50		simprrr 805	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ ( x e. X /\ ( -. B R x /\ -. x R A ) ) ) -> -. x R A )
51		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( x R y <-> x R A ) )
52	51	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( -. x R y <-> -. x R A ) )
53	52	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( A e. { y e. X | -. x R y } <-> ( A e. X /\ -. x R A ) )
54	49, 50, 53	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ ( x e. X /\ ( -. B R x /\ -. x R A ) ) ) -> A e. { y e. X | -. x R y } )
55		simpll3 1102	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ ( x e. X /\ ( -. B R x /\ -. x R A ) ) ) -> B e. X )
56		simprrl 804	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ ( x e. X /\ ( -. B R x /\ -. x R A ) ) ) -> -. B R x )
57		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( y R x <-> B R x ) )
58	57	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> ( -. y R x <-> -. B R x ) )
59	58	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( B e. { y e. X | -. y R x } <-> ( B e. X /\ -. B R x ) )
60	55, 56, 59	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ ( x e. X /\ ( -. B R x /\ -. x R A ) ) ) -> B e. { y e. X | -. y R x } )
61	43, 44	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ ( x e. X /\ ( -. B R x /\ -. x R A ) ) ) -> ( R e. TosetRel /\ x e. X ) )
62	3	tsrlin 17219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. TosetRel /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x R y \/ y R x ) )
63	62	3expa 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. TosetRel /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> ( x R y \/ y R x ) )
64	61, 63	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ ( x e. X /\ ( -. B R x /\ -. x R A ) ) ) /\ y e. X ) -> ( x R y \/ y R x ) )
65		oran 517	. . . . . . . . 9 |- ( ( x R y \/ y R x ) <-> -. ( -. x R y /\ -. y R x ) )
66	64, 65	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ ( x e. X /\ ( -. B R x /\ -. x R A ) ) ) /\ y e. X ) -> -. ( -. x R y /\ -. y R x ) )
67	66	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ ( x e. X /\ ( -. B R x /\ -. x R A ) ) ) -> A. y e. X -. ( -. x R y /\ -. y R x ) )
68		rabeq0 3957	. . . . . . 7 |- ( { y e. X | ( -. x R y /\ -. y R x ) } = (/) <-> A. y e. X -. ( -. x R y /\ -. y R x ) )
69	67, 68	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ ( x e. X /\ ( -. B R x /\ -. x R A ) ) ) -> { y e. X | ( -. x R y /\ -. y R x ) } = (/) )
70		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( m = { y e. X | -. x R y } -> ( A e. m <-> A e. { y e. X | -. x R y } ) )
71		ineq1 3807	. . . . . . . . 9 |- ( m = { y e. X | -. x R y } -> ( m i^i n ) = ( { y e. X | -. x R y } i^i n ) )
72	71	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( m = { y e. X | -. x R y } -> ( ( m i^i n ) = (/) <-> ( { y e. X | -. x R y } i^i n ) = (/) ) )
73	70, 72	3anbi13d 1401	. . . . . . 7 |- ( m = { y e. X | -. x R y } -> ( ( A e. m /\ B e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) <-> ( A e. { y e. X | -. x R y } /\ B e. n /\ ( { y e. X | -. x R y } i^i n ) = (/) ) ) )
74		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( n = { y e. X | -. y R x } -> ( B e. n <-> B e. { y e. X | -. y R x } ) )
75		ineq2 3808	. . . . . . . . . 10 |- ( n = { y e. X | -. y R x } -> ( { y e. X | -. x R y } i^i n ) = ( { y e. X | -. x R y } i^i { y e. X | -. y R x } ) )
76		inrab 3899	. . . . . . . . . 10 |- ( { y e. X | -. x R y } i^i { y e. X | -. y R x } ) = { y e. X | ( -. x R y /\ -. y R x ) }
77	75, 76	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( n = { y e. X | -. y R x } -> ( { y e. X | -. x R y } i^i n ) = { y e. X | ( -. x R y /\ -. y R x ) } )
78	77	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( n = { y e. X | -. y R x } -> ( ( { y e. X | -. x R y } i^i n ) = (/) <-> { y e. X | ( -. x R y /\ -. y R x ) } = (/) ) )
79	74, 78	3anbi23d 1402	. . . . . . 7 |- ( n = { y e. X | -. y R x } -> ( ( A e. { y e. X | -. x R y } /\ B e. n /\ ( { y e. X | -. x R y } i^i n ) = (/) ) <-> ( A e. { y e. X | -. x R y } /\ B e. { y e. X | -. y R x } /\ { y e. X | ( -. x R y /\ -. y R x ) } = (/) ) ) )
80	73, 79	rspc2ev 3324	. . . . . 6 |- ( ( { y e. X | -. x R y } e. (ordTop ` R ) /\ { y e. X | -. y R x } e. (ordTop ` R ) /\ ( A e. { y e. X | -. x R y } /\ B e. { y e. X | -. y R x } /\ { y e. X | ( -. x R y /\ -. y R x ) } = (/) ) ) -> E. m e. (ordTop ` R ) E. n e. (ordTop ` R ) ( A e. m /\ B e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) )
81	46, 48, 54, 60, 69, 80	syl113anc 1338	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) /\ ( x e. X /\ ( -. B R x /\ -. x R A ) ) ) -> E. m e. (ordTop ` R ) E. n e. (ordTop ` R ) ( A e. m /\ B e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) )
82	81	rexlimdvaa 3032	. . . 4 |- ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) -> ( E. x e. X ( -. B R x /\ -. x R A ) -> E. m e. (ordTop ` R ) E. n e. (ordTop ` R ) ( A e. m /\ B e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
83	42, 82	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) -> ( { x e. X | ( -. B R x /\ -. x R A ) } =/= (/) -> E. m e. (ordTop ` R ) E. n e. (ordTop ` R ) ( A e. m /\ B e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
84	41, 83	pm2.61dne 2880	. 2 |- ( ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( A R B /\ A =/= B ) ) -> E. m e. (ordTop ` R ) E. n e. (ordTop ` R ) ( A e. m /\ B e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) )
85	84	exp32 631	1 |- ( ( R e. TosetRel /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A R B -> ( A =/= B -> E. m e. (ordTop ` R ) E. n e. (ordTop ` R ) ( A e. m /\ B e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888  ordTopcordt 16159   PosetRelcps 17198   TosetRel ctsr 17199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  ordthaus  21188