Theorem pfxccatin12lem1 41423

Description: Lemma 1 for pfxccatin12 41425. Could replace swrdccatin12lem2b 13486. (Contributed by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem1	|- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )

Proof of Theorem pfxccatin12lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 12333	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) )
2		zsubcl 11419	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
3	2	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
4	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) -> ( L - M ) e. ZZ )
5	1, 4	sylbi 207	. . . 4 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( L - M ) e. ZZ )
6	5	adantr 481	. . 3 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( L - M ) e. ZZ )
7		elfzonelfzo 12570	. . 3 |- ( ( L - M ) e. ZZ -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
8	6, 7	syl 17	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
9		elfz2nn0 12431	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
10		nn0cn 11302	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
11		nn0cn 11302	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. NN0 -> L e. CC )
12		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( L ... X ) -> N e. ZZ )
13		zcn 11382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
14		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. CC /\ M e. CC ) -> ( L - M ) e. CC )
15	14	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( L - M ) e. CC )
16	15	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( L - M ) + 0 ) = ( L - M ) )
17	16	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( L - M ) = ( ( L - M ) + 0 ) )
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( L - M ) = ( ( L - M ) + 0 ) )
19		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> L e. CC )
20		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> M e. CC )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> M e. CC )
22		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> N e. CC )
23	19, 21, 22	npncan3d 10428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( ( L - M ) + ( N - L ) ) = ( N - M ) )
24	23	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( N - M ) = ( ( L - M ) + ( N - L ) ) )
25	18, 24	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
26	25	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. CC -> ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
27	12, 13, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( L ... X ) -> ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
28	27	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
29	10, 11, 28	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
30	29	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
31	9, 30	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
32	31	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
33	32	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) <-> K e. ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
34	33	biimpa 501	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) /\ K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) -> K e. ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
35		0zd 11389	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> 0 e. ZZ )
36		elfz2 12333	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( L ... X ) <-> ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) )
37		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
38	37	ancoms 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
39	38	3adant2 1080	. . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
40	39	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> ( N - L ) e. ZZ )
41	36, 40	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( N e. ( L ... X ) -> ( N - L ) e. ZZ )
42	41	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( N - L ) e. ZZ )
43	6, 35, 42	3jca 1242	. . . . 5 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N - L ) e. ZZ ) )
44	43	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) /\ K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) -> ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N - L ) e. ZZ ) )
45		fzosubel2 12527	. . . 4 |- ( ( K e. ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) /\ ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N - L ) e. ZZ ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) )
46	34, 44, 45	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) /\ K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) )
47	46	ex 450	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )
48	8, 47	syld 47	1 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2  41424