Theorem pfxccatin12lem2 41424

Description: Lemma 2 for pfxccatin12 41425. Could replace swrdccatin12lem2 13489. (Contributed by AV, 9-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
pfxccatin12.l	|- L = ( # ` A )

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem2	|- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( # ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem pfxccatin12lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxccatin12.l	. . . . . 6 |- L = ( # ` A )
2	1	swrdccatin12lem2c 13488	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( # ` ( A ++ B ) ) ) ) )
3	2	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( # ` ( A ++ B ) ) ) ) )
4		simprl 794	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( 0..^ ( N - M ) ) )
5		swrdfv 13424	. . . 4 |- ( ( ( ( A ++ B ) e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( # ` ( A ++ B ) ) ) ) /\ K e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) )
7		elfzoelz 12470	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> K e. ZZ )
8		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
9		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
10		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( L e. NN0 -> L e. CC )
11	9, 10	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M e. CC /\ L e. CC ) )
12		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
13		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. CC /\ M e. CC ) -> ( L - M ) e. CC )
14	13	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( L - M ) e. CC )
15	14	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( K e. CC /\ ( L - M ) e. CC ) )
16	15	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( K e. CC /\ ( L - M ) e. CC ) )
17		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. CC /\ ( L - M ) e. CC ) -> ( K - ( L - M ) ) e. CC )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( K - ( L - M ) ) e. CC )
19	18	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) = ( K - ( L - M ) ) )
20		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> K e. CC )
21		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> L e. CC )
22		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> M e. CC )
23	20, 21, 22	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( K - ( L - M ) ) = ( ( K + M ) - L ) )
24	19, 23	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( ( K + M ) - L ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
25	11, 12, 24	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( K + M ) - L ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
26		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` A ) = L -> ( ( K + M ) - ( # ` A ) ) = ( ( K + M ) - L ) )
27	26	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L = ( # ` A ) -> ( ( K + M ) - ( # ` A ) ) = ( ( K + M ) - L ) )
28	27	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L = ( # ` A ) -> ( ( ( K + M ) - ( # ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) <-> ( ( K + M ) - L ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
29	25, 28	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L = ( # ` A ) -> ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( K + M ) - ( # ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
30	1, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( K + M ) - ( # ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
31	30	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K + M ) - ( # ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
32	31	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K + M ) - ( # ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
33	8, 32	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K + M ) - ( # ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
34	33	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K + M ) - ( # ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
35	7, 34	syl5com 31	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) - ( # ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
36	35	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) - ( # ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
37	36	impcom 446	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( K + M ) - ( # ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
38	37	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( B ` ( ( K + M ) - ( # ` A ) ) ) = ( B ` ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
39		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
40		swrdccatin12lem2a 13485	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + ( # ` B ) ) ) ) )
41	40	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + ( # ` B ) ) ) ) )
42	41	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + ( # ` B ) ) ) )
43		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) = L -> ( # ` A ) = L )
44		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) = L -> ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) = ( L + ( # ` B ) ) )
45	43, 44	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` A ) = L -> ( ( # ` A )..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) = ( L..^ ( L + ( # ` B ) ) ) )
46	45	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ( # ` A ) = L -> ( ( K + M ) e. ( ( # ` A )..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) <-> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + ( # ` B ) ) ) ) )
47	46	eqcoms 2630	. . . . . . . 8 |- ( L = ( # ` A ) -> ( ( K + M ) e. ( ( # ` A )..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) <-> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + ( # ` B ) ) ) ) )
48	1, 47	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( K + M ) e. ( ( # ` A )..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) <-> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + ( # ` B ) ) ) )
49	42, 48	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K + M ) e. ( ( # ` A )..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) )
50		df-3an 1039	. . . . . 6 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( ( # ` A )..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) <-> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( K + M ) e. ( ( # ` A )..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) )
51	39, 49, 50	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( ( # ` A )..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) )
52		ccatval2 13362	. . . . 5 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( ( # ` A )..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( B ` ( ( K + M ) - ( # ` A ) ) ) )
53	51, 52	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( B ` ( ( K + M ) - ( # ` A ) ) ) )
54		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> B e. Word V )
55	54	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> B e. Word V )
56		lencl 13324	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. Word V -> ( # ` B ) e. NN0 )
57		elfzel2 12340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> L e. ZZ )
58		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
59	58	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ L <_ N ) -> ( N - L ) e. ZZ )
61		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
62		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
63		subge0 10541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( N e. RR /\ L e. RR ) -> ( 0 <_ ( N - L ) <-> L <_ N ) )
64	61, 62, 63	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( N - L ) <-> L <_ N ) )
65	64	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( L <_ N -> 0 <_ ( N - L ) ) )
66	65	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ L <_ N ) -> 0 <_ ( N - L ) )
67		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N - L ) e. NN0 <-> ( ( N - L ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - L ) ) )
68	60, 66, 67	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ L <_ N ) -> ( N - L ) e. NN0 )
69	68	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( L <_ N -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. NN0 ) )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + ( # ` B ) ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. NN0 ) )
71	70	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + ( # ` B ) ) ) -> ( N e. ZZ -> ( L e. ZZ -> ( N - L ) e. NN0 ) ) )
72	71	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. ZZ -> ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + ( # ` B ) ) ) -> ( L e. ZZ -> ( N - L ) e. NN0 ) ) )
73	72	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + ( # ` B ) ) ) -> ( L e. ZZ -> ( N - L ) e. NN0 ) ) )
74	73	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + ( # ` B ) ) ) ) -> ( L e. ZZ -> ( N - L ) e. NN0 ) )
75	74	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( L e. ZZ -> ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + ( # ` B ) ) ) ) -> ( N - L ) e. NN0 ) )
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN0 ) -> ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + ( # ` B ) ) ) ) -> ( N - L ) e. NN0 ) )
77	76	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN0 ) /\ ( ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( N - L ) e. NN0 )
78		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN0 ) /\ ( ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( # ` B ) e. NN0 )
79	61	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( L e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN0 ) /\ ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. RR )
81	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( L e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN0 ) -> L e. RR )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( L e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN0 ) /\ ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> L e. RR )
83		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( # ` B ) e. NN0 -> ( # ` B ) e. RR )
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( L e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN0 ) -> ( # ` B ) e. RR )
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( L e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN0 ) /\ ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( # ` B ) e. RR )
86		lesubadd2 10501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. RR /\ L e. RR /\ ( # ` B ) e. RR ) -> ( ( N - L ) <_ ( # ` B ) <-> N <_ ( L + ( # ` B ) ) ) )
87	86	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. RR /\ L e. RR /\ ( # ` B ) e. RR ) -> ( N <_ ( L + ( # ` B ) ) -> ( N - L ) <_ ( # ` B ) ) )
88	80, 82, 85, 87	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( L e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN0 ) /\ ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N <_ ( L + ( # ` B ) ) -> ( N - L ) <_ ( # ` B ) ) )
89	88	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN0 ) -> ( ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ ( L + ( # ` B ) ) -> ( N - L ) <_ ( # ` B ) ) ) )
90	89	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N <_ ( L + ( # ` B ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( L e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN0 ) -> ( N - L ) <_ ( # ` B ) ) ) )
91	90	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + ( # ` B ) ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( L e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN0 ) -> ( N - L ) <_ ( # ` B ) ) ) )
92	91	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + ( # ` B ) ) ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN0 ) -> ( N - L ) <_ ( # ` B ) ) )
93	92	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN0 ) /\ ( ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( N - L ) <_ ( # ` B ) )
94	77, 78, 93	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( L e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN0 ) /\ ( ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( ( N - L ) e. NN0 /\ ( # ` B ) e. NN0 /\ ( N - L ) <_ ( # ` B ) ) )
95	94	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN0 ) -> ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + ( # ` B ) ) ) ) -> ( ( N - L ) e. NN0 /\ ( # ` B ) e. NN0 /\ ( N - L ) <_ ( # ` B ) ) ) )
96		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) <-> ( ( L e. ZZ /\ ( L + ( # ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + ( # ` B ) ) ) ) )
97		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N - L ) e. ( 0 ... ( # ` B ) ) <-> ( ( N - L ) e. NN0 /\ ( # ` B ) e. NN0 /\ ( N - L ) <_ ( # ` B ) ) )
98	95, 96, 97	3imtr4g 285	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN0 ) -> ( N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... ( # ` B ) ) ) )
99	98	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. ZZ -> ( ( # ` B ) e. NN0 -> ( N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... ( # ` B ) ) ) ) )
100	99	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. ZZ -> ( N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) -> ( ( # ` B ) e. NN0 -> ( N - L ) e. ( 0 ... ( # ` B ) ) ) ) )
101	57, 100	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) -> ( ( # ` B ) e. NN0 -> ( N - L ) e. ( 0 ... ( # ` B ) ) ) ) )
102	101	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) -> ( ( # ` B ) e. NN0 -> ( N - L ) e. ( 0 ... ( # ` B ) ) ) )
103	56, 102	syl5com 31	. . . . . . . . 9 |- ( B e. Word V -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... ( # ` B ) ) ) )
104	103	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... ( # ` B ) ) ) )
105	104	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... ( # ` B ) ) )
106	105	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... ( # ` B ) ) )
107		pfxccatin12lem1 41423	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )
108	107	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )
109	108	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) )
110		pfxfv 41399	. . . . . 6 |- ( ( B e. Word V /\ ( N - L ) e. ( 0 ... ( # ` B ) ) /\ ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) -> ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( B ` ( K - ( L - M ) ) ) )
111	55, 106, 109, 110	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( B ` ( K - ( L - M ) ) ) )
112	7	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> K e. CC )
113	112	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. CC )
114	57	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> L e. CC )
115	114	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> L e. CC )
116	115	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> L e. CC )
117		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> M e. ZZ )
118	117	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> M e. CC )
119	118	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> M e. CC )
120	119	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> M e. CC )
121	116, 120	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( L - M ) e. CC )
122	113, 121	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. CC )
123	122	addid1d 10236	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) = ( K - ( L - M ) ) )
124	123	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
125	124	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( B ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( B ` ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
126	111, 125	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( B ` ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
127	38, 53, 126	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) )
128		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> A e. Word V )
129		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> M e. ( 0 ... L ) )
130		lencl 13324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Word V -> ( # ` A ) e. NN0 )
131		elnn0uz 11725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` A ) e. NN0 <-> ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
132		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( # ` A ) e. ( 0 ... ( # ` A ) ) )
133	131, 132	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( # ` A ) e. ( 0 ... ( # ` A ) ) )
134	1, 133	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> L e. ( 0 ... ( # ` A ) ) )
135	130, 134	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Word V -> L e. ( 0 ... ( # ` A ) ) )
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> L e. ( 0 ... ( # ` A ) ) )
137	136	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> L e. ( 0 ... ( # ` A ) ) )
138	128, 129, 137	3jca 1242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ M e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) )
139	138	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ M e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) )
140		swrdlen 13423	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Word V /\ M e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) -> ( # ` ( A substr <. M , L >. ) ) = ( L - M ) )
141	139, 140	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( # ` ( A substr <. M , L >. ) ) = ( L - M ) )
142	141	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( L - M ) = ( # ` ( A substr <. M , L >. ) ) )
143	142	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) = ( K - ( # ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) )
144	143	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( # ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) ) )
145	6, 127, 144	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( # ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) ) )
146	145	ex 450	1 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( # ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   substr csubstr 13295   prefix cpfx 41381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-pfx 41382

This theorem is referenced by:  pfxccatin12  41425