Theorem elrpd 11869

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	|- ( ph -> A e. RR )
elrpd.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
elrpd	|- ( ph -> A e. RR+ )

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		elrpd.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		elrp 11834	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  11933  mul2lt0bi  11936  xov1plusxeqvd  12318  zltaddlt1le  12324  ltexp2a  12912  expcan  12913  ltexp2  12914  leexp2a  12916  expnlbnd2  12995  discr  13001  sqrlem4  13986  sqrlem7  13989  rpsqrtcl  14005  absrpcl  14028  rlimrege0  14310  mulcn2  14326  fprodle  14727  rprisefaccl  14754  rpefcl  14834  eflt  14847  ef01bndlem  14914  stdbdmopn  22323  methaus  22325  nmrpcl  22424  nlmvscnlem1  22490  metnrmlem1a  22661  icopnfcnv  22741  evth  22758  lebnumlem1  22760  nmoleub2lem3  22915  ipcnlem1  23044  minveclem4  23203  vitalilem4  23380  mbfmulc2lem  23414  itg2gt0  23527  dveflem  23742  dvferm1lem  23747  dvferm2  23750  aaliou3lem3  24099  psercnlem1  24179  pserdvlem1  24181  pserdv  24183  reeff1olem  24200  pilem2  24206  pilem3  24207  tanrpcl  24256  cosordlem  24277  rplogcl  24350  logdivlti  24366  logdivlt  24367  logdivle  24368  dvloglem  24394  recxpcl  24421  rpcxpcl  24422  mulcxp  24431  cxple2  24443  cxpsqrt  24449  cxpcn3  24489  loglesqrt  24499  atanlogaddlem  24640  atantan  24650  atanbnd  24653  rlimcnp  24692  rlimcnp2  24693  efrlim  24696  cxp2limlem  24702  cxp2lim  24703  cxploglim2  24705  jensen  24715  harmonicubnd  24736  fsumharmonic  24738  lgamgulmlem2  24756  ftalem2  24800  basellem3  24809  basellem8  24814  chtrpcl  24901  fsumvma2  24939  chpval2  24943  chpchtsum  24944  chpub  24945  efexple  25006  chebbnd1lem2  25159  chebbnd1lem3  25160  chebbnd1  25161  chtppilimlem1  25162  chtppilimlem2  25163  chtppilim  25164  chebbnd2  25166  chto1lb  25167  chpchtlim  25168  chpo1ub  25169  rplogsumlem2  25174  dchrisumlema  25177  dchrisumlem3  25180  dchrvmasumlem2  25187  dchrvmasumiflem1  25190  dchrisum0lema  25203  chpdifbndlem1  25242  chpdifbndlem2  25243  chpdifbnd  25244  selberg3lem1  25246  pntrsumo1  25254  pntpbnd1a  25274  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  pntpbnd  25277  pntibndlem2  25280  pntibndlem3  25281  pntibnd  25282  pntlemd  25283  pntlem3  25298  pntleml  25300  pnt2  25302  pnt  25303  abvcxp  25304  ostth2lem1  25307  padicabv  25319  ostth2lem3  25324  ostth2lem4  25325  ostth2  25326  ostth3  25327  ttgcontlem1  25765  blocnilem  27659  minvecolem4  27736  minvecolem5  27737  xrge0iifhom  29983  cndprobprob  30500  hgt750lem  30729  unblimceq0lem  32497  unblimceq0  32498  knoppndvlem14  32516  knoppndvlem18  32520  knoppndvlem20  32522  tan2h  33401  mblfinlem3  33448  mblfinlem4  33449  itg2addnclem  33461  itg2gt0cn  33465  ftc1anclem7  33491  ftc1anc  33493  dvasin  33496  areacirclem1  33500  areacirclem4  33503  areacirc  33505  geomcau  33555  blbnd  33586  prdsbnd2  33594  rrnequiv  33634  pell14qrrp  37424  pellfundex  37450  pellfundrp  37452  rmspecfund  37474  rmspecpos  37481  areaquad  37802  wwlemuld  38454  radcnvrat  38513  binomcxplemdvbinom  38552  binomcxplemnotnn0  38555  supxrgere  39549  supxrgelem  39553  xralrple2  39570  xralrple3  39590  sqrlearg  39780  sinaover2ne0  40079  ioodvbdlimc1lem1  40146  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  dvnmul  40158  stoweidlem25  40242  stoweidlem28  40245  stoweidlem42  40259  stoweidlem49  40266  wallispilem3  40284  wallispilem4  40285  wallispi  40287  wallispi2lem1  40288  stirlinglem5  40295  stirlinglem10  40300  fourierdlem4  40328  fourierdlem6  40330  fourierdlem7  40331  fourierdlem19  40343  fourierdlem24  40348  fourierdlem26  40350  fourierdlem30  40354  fourierdlem42  40366  fourierdlem51  40374  fourierdlem63  40386  fourierdlem64  40387  fourierdlem65  40388  fourierdlem73  40396  fourierdlem75  40398  fourierdlem79  40402  fourierdlem92  40415  fourierdlem109  40432  fouriersw  40448  etransclem35  40486  qndenserrnbllem  40514  ioorrnopnlem  40524  hoiqssbllem1  40836  hoiqssbllem2  40837  iunhoiioolem  40889  pimrecltpos  40919  smfrec  40996  smfmullem1  40998  smfmullem2  40999  smfmullem3  41000  m1mod0mod1  41339  rege1logbrege0  42352  fldivexpfllog2  42359  fllog2  42362  amgmwlem  42548