Theorem pjpreeq 28257

Description: Equality with a projection. This version of pjeq 28258 does not assume the Axiom of Choice via pjhth 28252. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjpreeq	|- ( ( H e. CH /\ A e. ( H +H ( _|_ ` H ) ) ) -> ( ( ( proj h ` H ) ` A ) = B <-> ( B e. H /\ E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( B +h x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, A   x, B

Proof of Theorem pjpreeq

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 28081	. . . . . . . 8 |- ( H e. CH -> H e. SH )
2		shocsh 28143	. . . . . . . . 9 |- ( H e. SH -> ( _|_ ` H ) e. SH )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( H e. CH -> ( _|_ ` H ) e. SH )
4		shsel 28173	. . . . . . . 8 |- ( ( H e. SH /\ ( _|_ ` H ) e. SH ) -> ( A e. ( H +H ( _|_ ` H ) ) <-> E. y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( H e. CH -> ( A e. ( H +H ( _|_ ` H ) ) <-> E. y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) )
6	5	biimpa 501	. . . . . 6 |- ( ( H e. CH /\ A e. ( H +H ( _|_ ` H ) ) ) -> E. y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) )
7		ocin 28155	. . . . . . . . 9 |- ( H e. SH -> ( H i^i ( _|_ ` H ) ) = 0H )
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( H e. CH -> ( H i^i ( _|_ ` H ) ) = 0H )
9		pjhthmo 28161	. . . . . . . 8 |- ( ( H e. SH /\ ( _|_ ` H ) e. SH /\ ( H i^i ( _|_ ` H ) ) = 0H ) -> E* y ( y e. H /\ E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) )
10	1, 3, 8, 9	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( H e. CH -> E* y ( y e. H /\ E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) )
11	10	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( H e. CH /\ A e. ( H +H ( _|_ ` H ) ) ) -> E* y ( y e. H /\ E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) )
12		reu5 3159	. . . . . . 7 |- ( E! y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) <-> ( E. y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) /\ E* y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) )
13		df-rmo 2920	. . . . . . . 8 |- ( E* y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) <-> E* y ( y e. H /\ E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) )
14	13	anbi2i 730	. . . . . . 7 |- ( ( E. y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) /\ E* y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) <-> ( E. y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) /\ E* y ( y e. H /\ E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) ) )
15	12, 14	bitri 264	. . . . . 6 |- ( E! y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) <-> ( E. y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) /\ E* y ( y e. H /\ E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) ) )
16	6, 11, 15	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( H e. CH /\ A e. ( H +H ( _|_ ` H ) ) ) -> E! y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) )
17		riotacl 6625	. . . . 5 |- ( E! y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) -> ( iota_ y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) e. H )
18	16, 17	syl 17	. . . 4 |- ( ( H e. CH /\ A e. ( H +H ( _|_ ` H ) ) ) -> ( iota_ y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) e. H )
19		eleq1 2689	. . . 4 |- ( ( iota_ y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) = B -> ( ( iota_ y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) e. H <-> B e. H ) )
20	18, 19	syl5ibcom 235	. . 3 |- ( ( H e. CH /\ A e. ( H +H ( _|_ ` H ) ) ) -> ( ( iota_ y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) = B -> B e. H ) )
21	20	pm4.71rd 667	. 2 |- ( ( H e. CH /\ A e. ( H +H ( _|_ ` H ) ) ) -> ( ( iota_ y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) = B <-> ( B e. H /\ ( iota_ y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) = B ) ) )
22		shsss 28172	. . . . . 6 |- ( ( H e. SH /\ ( _|_ ` H ) e. SH ) -> ( H +H ( _|_ ` H ) ) C_ ~H )
23	1, 3, 22	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( H e. CH -> ( H +H ( _|_ ` H ) ) C_ ~H )
24	23	sselda 3603	. . . 4 |- ( ( H e. CH /\ A e. ( H +H ( _|_ ` H ) ) ) -> A e. ~H )
25		pjhval 28256	. . . 4 |- ( ( H e. CH /\ A e. ~H ) -> ( ( proj h ` H ) ` A ) = ( iota_ y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) )
26	24, 25	syldan 487	. . 3 |- ( ( H e. CH /\ A e. ( H +H ( _|_ ` H ) ) ) -> ( ( proj h ` H ) ` A ) = ( iota_ y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) )
27	26	eqeq1d 2624	. 2 |- ( ( H e. CH /\ A e. ( H +H ( _|_ ` H ) ) ) -> ( ( ( proj h ` H ) ` A ) = B <-> ( iota_ y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) = B ) )
28		id 22	. . . 4 |- ( B e. H -> B e. H )
29		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( y +h x ) = ( B +h x ) )
30	29	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( A = ( y +h x ) <-> A = ( B +h x ) ) )
31	30	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( y = B -> ( E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) <-> E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( B +h x ) ) )
32	31	riota2 6633	. . . 4 |- ( ( B e. H /\ E! y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) -> ( E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( B +h x ) <-> ( iota_ y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) = B ) )
33	28, 16, 32	syl2anr 495	. . 3 |- ( ( ( H e. CH /\ A e. ( H +H ( _|_ ` H ) ) ) /\ B e. H ) -> ( E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( B +h x ) <-> ( iota_ y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) = B ) )
34	33	pm5.32da 673	. 2 |- ( ( H e. CH /\ A e. ( H +H ( _|_ ` H ) ) ) -> ( ( B e. H /\ E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( B +h x ) ) <-> ( B e. H /\ ( iota_ y e. H E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( y +h x ) ) = B ) ) )
35	21, 27, 34	3bitr4d 300	1 |- ( ( H e. CH /\ A e. ( H +H ( _|_ ` H ) ) ) -> ( ( ( proj h ` H ) ` A ) = B <-> ( B e. H /\ E. x e. ( _|_ ` H ) A = ( B +h x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E*wmo 2471   E.wrex 2913   E!wreu 2914   E*wrmo 2915   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   ~Hchil 27776   +h cva 27777   SHcsh 27785   CHcch 27786   _|_cort 27787   +H cph 27788   0Hc0h 27792   proj hcpjh 27794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-hvsub 27828  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-pjh 28254

This theorem is referenced by:  pjeq  28258  pjpjpre  28278  chscllem1  28496  chscllem2  28497  chscllem3  28498