Theorem chscllem2 28497

Description: Lemma for chscl 28500. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	|- ( ph -> A e. CH )
chscl.2	|- ( ph -> B e. CH )
chscl.3	|- ( ph -> B C_ ( _|_ ` A ) )
chscl.4	|- ( ph -> H : NN --> ( A +H B ) )
chscl.5	|- ( ph -> H ~~>v u )
chscl.6	|- F = ( n e. NN |-> ( ( proj h ` A ) ` ( H ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
chscllem2	|- ( ph -> F e. dom ~~>v )

Distinct variable groups:   u, n, A   ph, n   B, n, u   n, H, u

Allowed substitution hints:   ph( u)   F( u, n)

Proof of Theorem chscllem2

Dummy variables j x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chscl.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. CH )
2		chscl.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. CH )
3		chscl.3	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ ( _|_ ` A ) )
4		chscl.4	. . . . 5 |- ( ph -> H : NN --> ( A +H B ) )
5		chscl.5	. . . . 5 |- ( ph -> H ~~>v u )
6		chscl.6	. . . . 5 |- F = ( n e. NN |-> ( ( proj h ` A ) ` ( H ` n ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	chscllem1 28496	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> A )
8		chss 28086	. . . . 5 |- ( A e. CH -> A C_ ~H )
9	1, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ~H )
10	7, 9	fssd 6057	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> ~H )
11		hlimcaui 28093	. . . . . . 7 |- ( H ~~>v u -> H e. Cauchy )
12	5, 11	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> H e. Cauchy )
13		hcaucvg 28043	. . . . . 6 |- ( ( H e. Cauchy /\ x e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) < x )
14	12, 13	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) < x )
15		eluznn 11758	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
16	15	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
17		chsh 28081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A e. CH -> A e. SH )
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> A e. SH )
19		chsh 28081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( B e. CH -> B e. SH )
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> B e. SH )
21		shscl 28177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. SH /\ B e. SH ) -> ( A +H B ) e. SH )
22	18, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( A +H B ) e. SH )
23		shss 28067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A +H B ) e. SH -> ( A +H B ) C_ ~H )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( A +H B ) C_ ~H )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( A +H B ) C_ ~H )
26	4	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( H ` j ) e. ( A +H B ) )
27	25, 26	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( H ` j ) e. ~H )
28	27	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( H ` j ) e. ~H )
29	4, 24	fssd 6057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> H : NN --> ~H )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> H : NN --> ~H )
31		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> k e. NN )
32	30, 31	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( H ` k ) e. ~H )
33		hvsubcl 27874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( H ` j ) e. ~H /\ ( H ` k ) e. ~H ) -> ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) e. ~H )
34	28, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) e. ~H )
35	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> A C_ ~H )
36	7	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. A )
37	35, 36	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. ~H )
38	37	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( F ` j ) e. ~H )
39	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> A C_ ~H )
40	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> F : NN --> A )
41	40, 31	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( F ` k ) e. A )
42	39, 41	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( F ` k ) e. ~H )
43		hvsubcl 27874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` j ) e. ~H /\ ( F ` k ) e. ~H ) -> ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) e. ~H )
44	38, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) e. ~H )
45		hvsubcl 27874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) e. ~H /\ ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) e. ~H ) -> ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) e. ~H )
46	34, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) e. ~H )
47		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) e. ~H -> ( normh ` ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) e. RR )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( normh ` ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) e. RR )
49	48	sqge0d 13036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> 0 <_ ( ( normh ` ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) ^ 2 ) )
50		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) e. ~H -> ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) e. RR )
51	44, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) e. RR )
52	51	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
53	48	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( normh ` ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
54	52, 53	addge01d 10615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( 0 <_ ( ( normh ` ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) ^ 2 ) <-> ( ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ^ 2 ) + ( ( normh ` ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
55	49, 54	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ^ 2 ) + ( ( normh ` ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
56	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> A e. SH )
57	36	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( F ` j ) e. A )
58		shsubcl 28077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. SH /\ ( F ` j ) e. A /\ ( F ` k ) e. A ) -> ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) e. A )
59	56, 57, 41, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) e. A )
60		hvsubsub4 27917	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( H ` j ) e. ~H /\ ( H ` k ) e. ~H ) /\ ( ( F ` j ) e. ~H /\ ( F ` k ) e. ~H ) ) -> ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) = ( ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) -h ( ( H ` k ) -h ( F ` k ) ) ) )
61	28, 32, 38, 42, 60	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) = ( ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) -h ( ( H ` k ) -h ( F ` k ) ) ) )
62		ocsh 28142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) e. SH )
63	39, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( _|_ ` A ) e. SH )
64		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n = j -> ( H ` n ) = ( H ` j ) )
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n = j -> ( ( proj h ` A ) ` ( H ` n ) ) = ( ( proj h ` A ) ` ( H ` j ) ) )
66		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( proj h ` A ) ` ( H ` j ) ) e. _V
67	65, 6, 66	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j e. NN -> ( F ` j ) = ( ( proj h ` A ) ` ( H ` j ) ) )
68	67	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. NN -> ( ( proj h ` A ) ` ( H ` j ) ) = ( F ` j ) )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( proj h ` A ) ` ( H ` j ) ) = ( F ` j ) )
70	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> A e. CH )
71	9, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> ( _|_ ` A ) e. SH )
72		shless 28218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( B e. SH /\ ( _|_ ` A ) e. SH /\ A e. SH ) /\ B C_ ( _|_ ` A ) ) -> ( B +H A ) C_ ( ( _|_ ` A ) +H A ) )
73	20, 71, 18, 3, 72	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( B +H A ) C_ ( ( _|_ ` A ) +H A ) )
74		shscom 28178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. SH /\ B e. SH ) -> ( A +H B ) = ( B +H A ) )
75	18, 20, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( A +H B ) = ( B +H A ) )
76		shscom 28178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. SH /\ ( _|_ ` A ) e. SH ) -> ( A +H ( _|_ ` A ) ) = ( ( _|_ ` A ) +H A ) )
77	18, 71, 76	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( A +H ( _|_ ` A ) ) = ( ( _|_ ` A ) +H A ) )
78	73, 75, 77	3sstr4d 3648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( A +H B ) C_ ( A +H ( _|_ ` A ) ) )
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( A +H B ) C_ ( A +H ( _|_ ` A ) ) )
80	79, 26	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( H ` j ) e. ( A +H ( _|_ ` A ) ) )
81		pjpreeq 28257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. CH /\ ( H ` j ) e. ( A +H ( _|_ ` A ) ) ) -> ( ( ( proj h ` A ) ` ( H ` j ) ) = ( F ` j ) <-> ( ( F ` j ) e. A /\ E. x e. ( _|_ ` A ) ( H ` j ) = ( ( F ` j ) +h x ) ) ) )
82	70, 80, 81	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( proj h ` A ) ` ( H ` j ) ) = ( F ` j ) <-> ( ( F ` j ) e. A /\ E. x e. ( _|_ ` A ) ( H ` j ) = ( ( F ` j ) +h x ) ) ) )
83	69, 82	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( F ` j ) e. A /\ E. x e. ( _|_ ` A ) ( H ` j ) = ( ( F ` j ) +h x ) ) )
84	83	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> E. x e. ( _|_ ` A ) ( H ` j ) = ( ( F ` j ) +h x ) )
85	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ x e. ( _|_ ` A ) ) -> ( H ` j ) e. ~H )
86	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ x e. ( _|_ ` A ) ) -> ( F ` j ) e. ~H )
87		shss 28067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( _|_ ` A ) e. SH -> ( _|_ ` A ) C_ ~H )
88	71, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( _|_ ` A ) C_ ~H )
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( _|_ ` A ) C_ ~H )
90	89	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ x e. ( _|_ ` A ) ) -> x e. ~H )
91		hvsubadd 27934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( H ` j ) e. ~H /\ ( F ` j ) e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) = x <-> ( ( F ` j ) +h x ) = ( H ` j ) ) )
92	85, 86, 90, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ x e. ( _|_ ` A ) ) -> ( ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) = x <-> ( ( F ` j ) +h x ) = ( H ` j ) ) )
93		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) <-> ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) = x )
94		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( H ` j ) = ( ( F ` j ) +h x ) <-> ( ( F ` j ) +h x ) = ( H ` j ) )
95	92, 93, 94	3bitr4g 303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ x e. ( _|_ ` A ) ) -> ( x = ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) <-> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) +h x ) ) )
96	95	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( E. x e. ( _|_ ` A ) x = ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) <-> E. x e. ( _|_ ` A ) ( H ` j ) = ( ( F ` j ) +h x ) ) )
97	84, 96	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> E. x e. ( _|_ ` A ) x = ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) )
98		risset 3062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) e. ( _|_ ` A ) <-> E. x e. ( _|_ ` A ) x = ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) )
99	97, 98	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) e. ( _|_ ` A ) )
100	99	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) e. ( _|_ ` A ) )
101		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = k -> ( j e. NN <-> k e. NN ) )
102	101	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j = k -> ( ( ph /\ j e. NN ) <-> ( ph /\ k e. NN ) ) )
103		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j = k -> ( H ` j ) = ( H ` k ) )
104		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j = k -> ( F ` j ) = ( F ` k ) )
105	103, 104	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = k -> ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) = ( ( H ` k ) -h ( F ` k ) ) )
106	105	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j = k -> ( ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) e. ( _|_ ` A ) <-> ( ( H ` k ) -h ( F ` k ) ) e. ( _|_ ` A ) ) )
107	102, 106	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j = k -> ( ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( H ` k ) -h ( F ` k ) ) e. ( _|_ ` A ) ) ) )
108	107, 99	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( H ` k ) -h ( F ` k ) ) e. ( _|_ ` A ) )
109	108	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( H ` k ) -h ( F ` k ) ) e. ( _|_ ` A ) )
110		shsubcl 28077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( _|_ ` A ) e. SH /\ ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) e. ( _|_ ` A ) /\ ( ( H ` k ) -h ( F ` k ) ) e. ( _|_ ` A ) ) -> ( ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) -h ( ( H ` k ) -h ( F ` k ) ) ) e. ( _|_ ` A ) )
111	63, 100, 109, 110	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( ( H ` j ) -h ( F ` j ) ) -h ( ( H ` k ) -h ( F ` k ) ) ) e. ( _|_ ` A ) )
112	61, 111	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) e. ( _|_ ` A ) )
113		shocorth 28151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. SH -> ( ( ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) e. A /\ ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) e. ( _|_ ` A ) ) -> ( ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) .ih ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) = 0 ) )
114	56, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) e. A /\ ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) e. ( _|_ ` A ) ) -> ( ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) .ih ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) = 0 ) )
115	59, 112, 114	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) .ih ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) = 0 )
116		normpyth 28002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) e. ~H /\ ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) e. ~H ) -> ( ( ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) .ih ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) = 0 -> ( ( normh ` ( ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) +h ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ^ 2 ) + ( ( normh ` ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
117	44, 46, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) .ih ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) = 0 -> ( ( normh ` ( ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) +h ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ^ 2 ) + ( ( normh ` ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
118	115, 117	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( normh ` ( ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) +h ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ^ 2 ) + ( ( normh ` ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
119		hvpncan3 27899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) e. ~H /\ ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) e. ~H ) -> ( ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) +h ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) = ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) )
120	44, 34, 119	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) +h ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) = ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) )
121	120	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( normh ` ( ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) +h ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) ) = ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) )
122	121	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( normh ` ( ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) +h ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) ^ 2 ) )
123	118, 122	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ^ 2 ) + ( ( normh ` ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) -h ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) ^ 2 ) )
124	55, 123	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) ^ 2 ) )
125		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) e. ~H -> ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) e. RR )
126	34, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) e. RR )
127		normge0 27983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) e. ~H -> 0 <_ ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) )
128	44, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> 0 <_ ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) )
129		normge0 27983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) e. ~H -> 0 <_ ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) )
130	34, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> 0 <_ ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) )
131	51, 126, 128, 130	le2sqd 13044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) <_ ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) <-> ( ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) ^ 2 ) ) )
132	124, 131	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) <_ ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) )
133	132	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) <_ ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) )
134	51	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) e. RR )
135	126	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) e. RR )
136		rpre 11839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
137	136	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> x e. RR )
138		lelttr 10128	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) e. RR /\ ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) <_ ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) /\ ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) < x ) -> ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) < x ) )
139	134, 135, 137, 138	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) <_ ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) /\ ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) < x ) -> ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) < x ) )
140	133, 139	mpand 711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) < x -> ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) < x ) )
141	140	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) < x -> ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) < x ) )
142	16, 141	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) < x -> ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) < x ) )
143	142	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) < x ) )
144	143	reximdva 3017	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( H ` j ) -h ( H ` k ) ) ) < x -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) < x ) )
145	14, 144	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) < x )
146	145	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) < x )
147		hcau 28041	. . 3 |- ( F e. Cauchy <-> ( F : NN --> ~H /\ A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( F ` j ) -h ( F ` k ) ) ) < x ) )
148	10, 146, 147	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> F e. Cauchy )
149		ax-hcompl 28059	. 2 |- ( F e. Cauchy -> E. x e. ~H F ~~>v x )
150		hlimf 28094	. . . . 5 |- ~~>v : dom ~~>v --> ~H
151		ffn 6045	. . . . 5 |- ( ~~>v : dom ~~>v --> ~H -> ~~>v Fn dom ~~>v )
152	150, 151	ax-mp 5	. . . 4 |- ~~>v Fn dom ~~>v
153		fnbr 5993	. . . 4 |- ( ( ~~>v Fn dom ~~>v /\ F ~~>v x ) -> F e. dom ~~>v )
154	152, 153	mpan 706	. . 3 |- ( F ~~>v x -> F e. dom ~~>v )
155	154	rexlimivw 3029	. 2 |- ( E. x e. ~H F ~~>v x -> F e. dom ~~>v )
156	148, 149, 155	3syl 18	1 |- ( ph -> F e. dom ~~>v )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ^cexp 12860   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .ih csp 27779   normhcno 27780   -h cmv 27782   Cauchyccau 27783   ~~>v chli 27784   SHcsh 27785   CHcch 27786   _|_cort 27787   +H cph 27788   proj hcpjh 27794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033  df-haus 21119  df-cau 23054  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-pjh 28254

This theorem is referenced by:  chscllem4  28499