MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmbf Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem cnmbf 23426
Description: A continuous function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnmbf |- ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) -> F e. MblFn )
Proof of Theorem cnmbf
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncff 22696 . . 3 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> F : A --> CC )
2 mblss 23299 . . 3 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
3 cnex 10017 . . . 4 |- CC e. _V
4 reex 10027 . . . 4 |- RR e. _V
5 elpm2r 7875 . . . 4 |- ( ( ( CC e. _V /\ RR e. _V ) /\ ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) ) -> F e. ( CC ^pm RR ) )
63, 4, 5mpanl12 718 . . 3 |- ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) -> F e. ( CC ^pm RR ) )
71, 2, 6syl2anr 495 . 2 |- ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) -> F e. ( CC ^pm RR ) )
8 simpll 790 . . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> A e. dom vol )
9 simplr 792 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> F e. ( A -cn-> CC ) )
10 recncf 22705 . . . . . . . . 9 |- Re e. ( CC -cn-> RR )
1110a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> Re e. ( CC -cn-> RR ) )
129, 11cncfco 22710 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> ( Re o. F ) e. ( A -cn-> RR ) )
132ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> A C_ RR )
14 ax-resscn 9993 . . . . . . . . . 10 |- RR C_ CC
1513, 14syl6ss 3615 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> A C_ CC )
16 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
17 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A )
1816tgioo2 22606 . . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
1916, 17, 18cncfcn 22712 . . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( A -cn-> RR ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) )
2015, 14, 19sylancl 694 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> ( A -cn-> RR ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) )
21 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
2216, 21rerest 22607 . . . . . . . . . 10 |- ( A C_ RR -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) )
2313, 22syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) )
2423oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) )
2520, 24eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> ( A -cn-> RR ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) )
2612, 25eleqtrd 2703 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> ( Re o. F ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) )
27 retopbas 22564 . . . . . . . 8 |- ran (,) e. TopBases
28 bastg 20770 . . . . . . . 8 |- ( ran (,) e. TopBases -> ran (,) C_ ( topGen ` ran (,) ) )
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ran (,) C_ ( topGen ` ran (,) )
30 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> x e. ran (,) )
3129, 30sseldi 3601 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> x e. ( topGen ` ran (,) ) )
32 cnima 21069 . . . . . 6 |- ( ( ( Re o. F ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) /\ x e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( `' ( Re o. F ) " x ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) )
3326, 31, 32syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> ( `' ( Re o. F ) " x ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) )
34 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A )
3534subopnmbl 23372 . . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ ( `' ( Re o. F ) " x ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) ) -> ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol )
368, 33, 35syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol )
37 imcncf 22706 . . . . . . . . 9 |- Im e. ( CC -cn-> RR )
3837a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> Im e. ( CC -cn-> RR ) )
399, 38cncfco 22710 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> ( Im o. F ) e. ( A -cn-> RR ) )
4039, 25eleqtrd 2703 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> ( Im o. F ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) )
41 cnima 21069 . . . . . 6 |- ( ( ( Im o. F ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) /\ x e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( `' ( Im o. F ) " x ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) )
4240, 31, 41syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> ( `' ( Im o. F ) " x ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) )
4334subopnmbl 23372 . . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ ( `' ( Im o. F ) " x ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) ) -> ( `' ( Im o. F ) " x ) e. dom vol )
448, 42, 43syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> ( `' ( Im o. F ) " x ) e. dom vol )
4536, 44jca 554 . . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) /\ x e. ran (,) ) -> ( ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol /\ ( `' ( Im o. F ) " x ) e. dom vol ) )
4645ralrimiva 2966 . 2 |- ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) -> A. x e. ran (,) ( ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol /\ ( `' ( Im o. F ) " x ) e. dom vol ) )
47 ismbf1 23393 . 2 |- ( F e. MblFn <-> ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ A. x e. ran (,) ( ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol /\ ( `' ( Im o. F ) " x ) e. dom vol ) ) )
487, 46, 47sylanbrc 698 1 |- ( ( A e. dom vol /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) -> F e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RRcr 9935   (,)cioo 12175   Recre 13837   Imcim 13838   ↾t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂfldccnfld 19746   TopBasesctb 20749   Cn ccn 21028   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232  MblFncmbf 23383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-xms 22125  df-ms 22126  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388
This theorem is referenced by:  cniccibl  23607  ftc2re  30676  cnicciblnc  33481  ftc1cnnclem  33483  ftc2nc  33494  cnioobibld  37799  cnbdibl  40178  fourierdlem16  40340  fourierdlem21  40345  fourierdlem22  40346  fourierdlem83  40406
  Copyright terms: Public domain W3C validator