cnambfre - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem cnambfre 33458

Description: A real-valued, a.e. continuous function is measurable. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Apr-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
cnambfre	$/\$ $/\$ $\$ ↾_t MblFn

Proof of Theorem cnambfre Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . . 10
2	1	feqmptd 6249	. . . . . . . . 9
3	2	cnveqd 5298	. . . . . . . 8
4	3	imaeq1d 5465	. . . . . . 7
5	4	ad2antrr 762	. . . . . 6 $/\$ $/\$
6		exmid 431	. . . . . . . . . . 11 ↾_t $\/$ ↾_t
7	6	biantrur 527	. . . . . . . . . 10 ↾_t $\/$ ↾_t $/\$
8		andir 912	. . . . . . . . . 10 ↾_t $\/$ ↾_t $/\$ ↾_t $/\$ $\/$ ↾_t $/\$
9	7, 8	bitri 264	. . . . . . . . 9 ↾_t $/\$ $\/$ ↾_t $/\$
10		retopbas 22564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11		bastg 20770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
13	12	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . 16
14	13	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
15		cnpimaex 21060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ↾_t $/\$ $/\$ ↾_t $/\$
16	15	3com12 1269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ↾_t $/\$ ↾_t $/\$
17	16	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ↾_t $/\$ ↾_t $/\$
18	14, 17	sylanl1 682	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ↾_t $/\$ ↾_t $/\$
19	18	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ↾_t ↾_t $/\$
20		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ ↾_t $/\$ $/\$
21		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
23		restsspw 16092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ↾_t
24	23	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ↾_t
25	24	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ↾_t
26		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
27		fnfvima 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
28	22, 25, 26, 27	syl3an 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ ↾_t $/\$ $/\$
29	28	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ ↾_t $/\$ $/\$
30	20, 29	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ↾_t $/\$ $/\$
31	30	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ↾_t $/\$
32	31	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ↾_t ↾_t $/\$
33	19, 32	impbid 202	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ↾_t ↾_t $/\$
34	33	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ ↾_t $/\$ ↾_t $/\$ ↾_t $/\$
35		r19.42v 3092	. . . . . . . . . . 11 ↾_t ↾_t $/\$ $/\$ ↾_t $/\$ ↾_t $/\$
36	34, 35	syl6bbr 278	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ ↾_t $/\$ ↾_t ↾_t $/\$ $/\$
37	36	orbi1d 739	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ ↾_t $/\$ $\/$ ↾_t $/\$ ↾_t ↾_t $/\$ $/\$ $\/$ ↾_t $/\$
38	9, 37	syl5bb 272	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ ↾_t ↾_t $/\$ $/\$ $\/$ ↾_t $/\$
39	38	rabbidva 3188	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ ↾_t ↾_t $/\$ $/\$ $\/$ ↾_t $/\$
40		eqid 2622	. . . . . . . 8
41	40	mptpreima 5628	. . . . . . 7
42		unrab 3898	. . . . . . 7 ↾_t ↾_t $/\$ $/\$ ↾_t $/\$ ↾_t ↾_t $/\$ $/\$ $\/$ ↾_t $/\$
43	39, 41, 42	3eqtr4g 2681	. . . . . 6 $/\$ $/\$ ↾_t ↾_t $/\$ $/\$ ↾_t $/\$
44	5, 43	eqtrd 2656	. . . . 5 $/\$ $/\$ ↾_t ↾_t $/\$ $/\$ ↾_t $/\$
45	44	3adantl3 1219	. . . 4 $/\$ $/\$ $\$ ↾_t $/\$ ↾_t ↾_t $/\$ $/\$ ↾_t $/\$
46		incom 3805	. . . . . . . . 9 ↾_t $/\$ ↾_t ↾_t ↾_t $/\$
47		dfin4 3867	. . . . . . . . 9 ↾_t $/\$ ↾_t ↾_t $/\$ $\$ ↾_t $/\$ $\$ ↾_t
48		inrab 3899	. . . . . . . . . . . 12 ↾_t $/\$ ↾_t $/\$ $/\$
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ↾_t ↾_t $/\$ ↾_t $/\$ $/\$
50	49	iuneq2i 4539	. . . . . . . . . 10 ↾_t ↾_t $/\$ ↾_t ↾_t $/\$ $/\$
51		iunin2 4584	. . . . . . . . . 10 ↾_t ↾_t $/\$ ↾_t ↾_t $/\$
52		iunrab 4567	. . . . . . . . . 10 ↾_t ↾_t $/\$ $/\$ ↾_t ↾_t $/\$ $/\$
53	50, 51, 52	3eqtr3i 2652	. . . . . . . . 9 ↾_t ↾_t $/\$ ↾_t ↾_t $/\$ $/\$
54	46, 47, 53	3eqtr3i 2652	. . . . . . . 8 ↾_t $/\$ $\$ ↾_t $/\$ $\$ ↾_t ↾_t ↾_t $/\$ $/\$
55		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
56		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
57		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ↾_t $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ↾_t $/\$
59	58	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ↾_t $/\$ $/\$
60		pm3.22 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
61	60	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ↾_t $/\$ $/\$ $/\$
62	59, 61	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ↾_t $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	57, 62	impbida 877	. . . . . . . . . . . . . . 15 ↾_t $/\$ $/\$ $/\$
64	63	abbidv 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ↾_t $/\$ $/\$ $/\$
65		df-rab 2921	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
66		cvjust 2617	. . . . . . . . . . . . . 14
67	64, 65, 66	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . . . 13 ↾_t $/\$ $/\$
68		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69	68	con3i 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
70	69	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
71		rabeq0 3957	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
72	70, 71	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ↾_t $/\$ $/\$
74	55, 56, 67, 73	ifbothda 4123	. . . . . . . . . . . 12 ↾_t $/\$
75	74	iuneq2i 4539	. . . . . . . . . . 11 ↾_t $/\$ ↾_t
76		retop 22565	. . . . . . . . . . . . . 14
77		resttop 20964	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ↾_t
78	76, 77	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13 ↾_t
79		0opn 20709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ↾_t ↾_t
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ↾_t
81		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ↾_t $/\$ ↾_t ↾_t
82	81	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ↾_t $/\$ ↾_t ↾_t
83	80, 82	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ↾_t ↾_t
84	83	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 ↾_t ↾_t
85		iunopn 20703	. . . . . . . . . . . . 13 ↾_t $/\$ ↾_t ↾_t ↾_t ↾_t
86	78, 84, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ↾_t ↾_t
87		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ↾_t ↾_t
88	87	subopnmbl 23372	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ↾_t ↾_t ↾_t
89	86, 88	mpdan 702	. . . . . . . . . . 11 ↾_t
90	75, 89	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 ↾_t $/\$
91	90	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ ↾_t ↾_t $/\$
92		difss 3737	. . . . . . . . . . . . 13 ↾_t $/\$ $\$ ↾_t ↾_t $/\$
93		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
94	93	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . 14 ↾_t $/\$
95		iunss 4561	. . . . . . . . . . . . . 14 ↾_t $/\$ ↾_t $/\$
96	94, 95	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . 13 ↾_t $/\$
97	92, 96	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 ↾_t $/\$ $\$ ↾_t
98		mblss 23299	. . . . . . . . . . . 12
99	97, 98	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . 11 ↾_t $/\$ $\$ ↾_t
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ ↾_t ↾_t $/\$ $\$ ↾_t
101		ssdif 3745	. . . . . . . . . . . . . 14 ↾_t $/\$ ↾_t $/\$ $\$ ↾_t $\$ ↾_t
102	96, 101	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ↾_t $/\$ $\$ ↾_t $\$ ↾_t
103		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
104	103	rabex 4813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ↾_t $/\$
105		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ↾_t $/\$ ↾_t $/\$
106	104, 105	fnmpti 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ↾_t $/\$
107		retopon 22567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 TopOn
108		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 TopOn $/\$ ↾_t TopOn
109	107, 98, 108	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ↾_t TopOn
110		cnpfval 21038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ↾_t TopOn $/\$ TopOn ↾_t ↾_t $/\$
111	109, 107, 110	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ↾_t ↾_t $/\$
112	111	fneq1d 5981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ↾_t ↾_t $/\$
113	106, 112	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ↾_t
114		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ↾_t ↾_t $/\$ ↾_t
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ↾_t $/\$ ↾_t
116		rele 5250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
117		elrelimasn 5489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ↾_t ↾_t
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ↾_t ↾_t
119		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ↾_t
120	119	epelc 5031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ↾_t ↾_t
121	118, 120	bitr2i 265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ↾_t ↾_t
122	121	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ↾_t $/\$ ↾_t
123	115, 122	syl6rbbr 279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ↾_t ↾_t
124	123	abbidv 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ↾_t ↾_t
125		df-rab 2921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ↾_t $/\$ ↾_t
126		imaco 5640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ↾_t ↾_t
127		abid2 2745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ↾_t ↾_t
128	126, 127	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . 15 ↾_t ↾_t
129	124, 125, 128	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . . . . 14 ↾_t ↾_t
130	129	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ ↾_t $\$ ↾_t
131	102, 130	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . 12 ↾_t $/\$ $\$ ↾_t $\$ ↾_t
132		difss 3737	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ ↾_t
133	132, 98	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . 12 $\$ ↾_t
134	131, 133	jca 554	. . . . . . . . . . 11 ↾_t $/\$ $\$ ↾_t $\$ ↾_t $/\$ $\$ ↾_t
135		ovolssnul 23255	. . . . . . . . . . . 12 ↾_t $/\$ $\$ ↾_t $\$ ↾_t $/\$ $\$ ↾_t $/\$ $\$ ↾_t ↾_t $/\$ $\$ ↾_t
136	135	3expa 1265	. . . . . . . . . . 11 ↾_t $/\$ $\$ ↾_t $\$ ↾_t $/\$ $\$ ↾_t $/\$ $\$ ↾_t ↾_t $/\$ $\$ ↾_t
137	134, 136	sylan 488	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ ↾_t ↾_t $/\$ $\$ ↾_t
138		nulmbl 23303	. . . . . . . . . 10 ↾_t $/\$ $\$ ↾_t $/\$ ↾_t $/\$ $\$ ↾_t ↾_t $/\$ $\$ ↾_t
139	100, 137, 138	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ ↾_t ↾_t $/\$ $\$ ↾_t
140		difmbl 23311	. . . . . . . . 9 ↾_t $/\$ $/\$ ↾_t $/\$ $\$ ↾_t ↾_t $/\$ $\$ ↾_t $/\$ $\$ ↾_t
141	91, 139, 140	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ ↾_t ↾_t $/\$ $\$ ↾_t $/\$ $\$ ↾_t
142	54, 141	syl5eqelr 2706	. . . . . . 7 $/\$ $\$ ↾_t ↾_t ↾_t $/\$ $/\$
143		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 ↾_t $/\$
144	143, 98	syl5ss 3614	. . . . . . . . 9 ↾_t $/\$
145	144	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ ↾_t ↾_t $/\$
146	126	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ↾_t ↾_t
147		ibar 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ↾_t $/\$ ↾_t
148	121, 147	syl5rbb 273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ↾_t ↾_t
149	115, 148	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ↾_t ↾_t
150	146, 149	syl5rbb 273	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ↾_t ↾_t
151	150	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ↾_t ↾_t
152	151	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ↾_t ↾_t
153	152	adantrd 484	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ↾_t $/\$ ↾_t
154	153	ss2rabdv 3683	. . . . . . . . . . 11 ↾_t $/\$ ↾_t
155		dfdif2 3583	. . . . . . . . . . 11 $\$ ↾_t ↾_t
156	154, 155	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . 10 ↾_t $/\$ $\$ ↾_t
157	156, 133	jca 554	. . . . . . . . 9 ↾_t $/\$ $\$ ↾_t $/\$ $\$ ↾_t
158		ovolssnul 23255	. . . . . . . . . 10 ↾_t $/\$ $\$ ↾_t $/\$ $\$ ↾_t $/\$ $\$ ↾_t ↾_t $/\$
159	158	3expa 1265	. . . . . . . . 9 ↾_t $/\$ $\$ ↾_t $/\$ $\$ ↾_t $/\$ $\$ ↾_t ↾_t $/\$
160	157, 159	sylan 488	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ ↾_t ↾_t $/\$
161		nulmbl 23303	. . . . . . . 8 ↾_t $/\$ $/\$ ↾_t $/\$ ↾_t $/\$
162	145, 160, 161	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $\$ ↾_t ↾_t $/\$
163		unmbl 23305	. . . . . . 7 ↾_t ↾_t $/\$ $/\$ $/\$ ↾_t $/\$ ↾_t ↾_t $/\$ $/\$ ↾_t $/\$
164	142, 162, 163	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$ $\$ ↾_t ↾_t ↾_t $/\$ $/\$ ↾_t $/\$
165	164	3adant1 1079	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\$ ↾_t ↾_t ↾_t $/\$ $/\$ ↾_t $/\$
166	165	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$ $\$ ↾_t $/\$ ↾_t ↾_t $/\$ $/\$ ↾_t $/\$
167	45, 166	eqeltrd 2701	. . 3 $/\$ $/\$ $\$ ↾_t $/\$
168	167	ralrimiva 2966	. 2 $/\$ $/\$ $\$ ↾_t
169		ismbf 23397	. . 3 MblFn
170	169	3ad2ant1 1082	. 2 $/\$ $/\$ $\$ ↾_t MblFn
171	168, 170	mpbird 247	1 $/\$ $/\$ $\$ ↾_t MblFn

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

cab 2608

wral 2912

wrex 2913

crab 2916 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cif 4086

cpw 4158

csn 4177

ciun 4520 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cep 5028

ccnv 5113

cdm 5114

crn 5115

cima 5117

ccom 5118

wrel 5119

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmap 7857

cr 9935

cc0 9936

cioo 12175 ↾_t crest 16081

ctg 16098

ctop 20698 TopOnctopon 20715

ctb 20749

ccnp 21029

covol 23231

cvol 23232 MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-omul 7565 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-acn 8768 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-rest 16083 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cnp 21032 df-cmp 21190 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-mbf 23388

This theorem is referenced by: (None)

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