Theorem ovolicc2 23290

Description: The measure of a closed interval is upper bounded by its length. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolicc.1	|- ( ph -> A e. RR )
ovolicc.2	|- ( ph -> B e. RR )
ovolicc.3	|- ( ph -> A <_ B )
ovolicc2.m	|- M = { y e. RR* | E. f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) }

Assertion

Ref	Expression
ovolicc2	|- ( ph -> ( B - A ) <_ ( vol* ` ( A [,] B ) ) )

Distinct variable groups:   y, f, A   B, f, y   y, M   ph, f, y

Allowed substitution hint:   M( f)

Proof of Theorem ovolicc2

Dummy variables g k t u v x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolicc2.m	. . . . . 6 |- M = { y e. RR* | E. f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) }
2	1	elovolm 23243	. . . . 5 |- ( z e. M <-> E. f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ z = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) )
3		ioof 12271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
4		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
6		dffn3 6054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) <-> (,) : ( RR* X. RR* ) --> ran (,) )
7	5, 6	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ran (,)
8		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) -> f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) )
9		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- RR e. _V
10	9, 9	xpex 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( RR X. RR ) e. _V
11	10	inex2 4800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) e. _V
12		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- NN e. _V
13	11, 12	elmap 7886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) <-> f : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
14	8, 13	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) -> f : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
15		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR )
16		rexpssxrxp 10084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* )
17	15, 16	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* )
18		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> f : NN --> ( RR* X. RR* ) )
19	14, 17, 18	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) -> f : NN --> ( RR* X. RR* ) )
20		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ran (,) /\ f : NN --> ( RR* X. RR* ) ) -> ( (,) o. f ) : NN --> ran (,) )
21	7, 19, 20	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) -> ( (,) o. f ) : NN --> ran (,) )
22	21	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) ) ) -> ( (,) o. f ) : NN --> ran (,) )
23		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (,) o. f ) : NN --> ran (,) -> ran ( (,) o. f ) C_ ran (,) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) ) ) -> ran ( (,) o. f ) C_ ran (,) )
25		retopbas 22564	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran (,) e. TopBases
26		bastg 20770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran (,) e. TopBases -> ran (,) C_ ( topGen ` ran (,) ) )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ran (,) C_ ( topGen ` ran (,) )
28	24, 27	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) ) ) -> ran ( (,) o. f ) C_ ( topGen ` ran (,) ) )
29		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) e. _V
30	29	elpw2 4828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran ( (,) o. f ) e. ~P ( topGen ` ran (,) ) <-> ran ( (,) o. f ) C_ ( topGen ` ran (,) ) )
31	28, 30	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) ) ) -> ran ( (,) o. f ) e. ~P ( topGen ` ran (,) ) )
32		ovolicc.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. RR )
33		ovolicc.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. RR )
34		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
35		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,] B ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,] B ) )
36	34, 35	icccmp 22628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,] B ) ) e. Comp )
37	32, 33, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,] B ) ) e. Comp )
38		retop 22565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
39		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
40	32, 33, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
41		uniretop 22566	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
42	41	cmpsub 21203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( A [,] B ) C_ RR ) -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,] B ) ) e. Comp <-> A. u e. ~P ( topGen ` ran (,) ) ( ( A [,] B ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( A [,] B ) C_ U. v ) ) )
43	38, 40, 42	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,] B ) ) e. Comp <-> A. u e. ~P ( topGen ` ran (,) ) ( ( A [,] B ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( A [,] B ) C_ U. v ) ) )
44	37, 43	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. u e. ~P ( topGen ` ran (,) ) ( ( A [,] B ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( A [,] B ) C_ U. v ) )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) ) ) -> A. u e. ~P ( topGen ` ran (,) ) ( ( A [,] B ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( A [,] B ) C_ U. v ) )
46		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) ) ) -> ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) )
47		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ran ( (,) o. f ) -> U. u = U. ran ( (,) o. f ) )
48	47	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ran ( (,) o. f ) -> ( ( A [,] B ) C_ U. u <-> ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) ) )
49		pweq 4161	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ran ( (,) o. f ) -> ~P u = ~P ran ( (,) o. f ) )
50	49	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ran ( (,) o. f ) -> ( ~P u i^i Fin ) = ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) )
51	50	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ran ( (,) o. f ) -> ( E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( A [,] B ) C_ U. v <-> E. v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) ( A [,] B ) C_ U. v ) )
52	48, 51	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ran ( (,) o. f ) -> ( ( ( A [,] B ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( A [,] B ) C_ U. v ) <-> ( ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) -> E. v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) ( A [,] B ) C_ U. v ) ) )
53	52	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran ( (,) o. f ) e. ~P ( topGen ` ran (,) ) -> ( A. u e. ~P ( topGen ` ran (,) ) ( ( A [,] B ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( A [,] B ) C_ U. v ) -> ( ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) -> E. v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) ( A [,] B ) C_ U. v ) ) )
54	31, 45, 46, 53	syl3c 66	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) ) ) -> E. v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) ( A [,] B ) C_ U. v )
55		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) ) -> v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) )
56		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) <-> ( v e. ~P ran ( (,) o. f ) /\ v e. Fin ) )
57	55, 56	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) ) -> ( v e. ~P ran ( (,) o. f ) /\ v e. Fin ) )
58	57	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) ) -> v e. Fin )
59	57	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) ) -> v e. ~P ran ( (,) o. f ) )
60	59	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) ) -> v C_ ran ( (,) o. f ) )
61	60	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) ) -> ( t e. v -> t e. ran ( (,) o. f ) ) )
62		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( (,) o. f ) : NN --> ran (,) -> ( (,) o. f ) Fn NN )
63	21, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) -> ( (,) o. f ) Fn NN )
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) ) -> ( (,) o. f ) Fn NN )
65		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( (,) o. f ) Fn NN -> ( t e. ran ( (,) o. f ) <-> E. k e. NN ( ( (,) o. f ) ` k ) = t ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) ) -> ( t e. ran ( (,) o. f ) <-> E. k e. NN ( ( (,) o. f ) ` k ) = t ) )
67	61, 66	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) ) -> ( t e. v -> E. k e. NN ( ( (,) o. f ) ` k ) = t ) )
68	67	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) ) -> A. t e. v E. k e. NN ( ( (,) o. f ) ` k ) = t )
69		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( g ` t ) -> ( ( (,) o. f ) ` k ) = ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) )
70	69	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( g ` t ) -> ( ( ( (,) o. f ) ` k ) = t <-> ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = t ) )
71	70	ac6sfi 8204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. Fin /\ A. t e. v E. k e. NN ( ( (,) o. f ) ` k ) = t ) -> E. g ( g : v --> NN /\ A. t e. v ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = t ) )
72	58, 68, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) ) -> E. g ( g : v --> NN /\ A. t e. v ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = t ) )
73	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) /\ ( g : v --> NN /\ A. t e. v ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = t ) ) ) -> A e. RR )
74	33	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) /\ ( g : v --> NN /\ A. t e. v ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = t ) ) ) -> B e. RR )
75		ovolicc.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A <_ B )
76	75	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) /\ ( g : v --> NN /\ A. t e. v ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = t ) ) ) -> A <_ B )
77		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) )
78	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) /\ ( g : v --> NN /\ A. t e. v ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = t ) ) ) -> f : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
79		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) /\ ( g : v --> NN /\ A. t e. v ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = t ) ) ) -> v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) )
80		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) /\ ( g : v --> NN /\ A. t e. v ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = t ) ) ) -> ( A [,] B ) C_ U. v )
81		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) /\ ( g : v --> NN /\ A. t e. v ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = t ) ) ) -> g : v --> NN )
82		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) /\ ( g : v --> NN /\ A. t e. v ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = t ) ) ) -> A. t e. v ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = t )
83		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = x -> ( g ` t ) = ( g ` x ) )
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = x -> ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = ( ( (,) o. f ) ` ( g ` x ) ) )
85		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = x -> t = x )
86	84, 85	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t = x -> ( ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = t <-> ( ( (,) o. f ) ` ( g ` x ) ) = x ) )
87	86	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. t e. v ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = t /\ x e. v ) -> ( ( (,) o. f ) ` ( g ` x ) ) = x )
88	82, 87	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) /\ ( g : v --> NN /\ A. t e. v ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = t ) ) ) /\ x e. v ) -> ( ( (,) o. f ) ` ( g ` x ) ) = x )
89		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { u e. v | ( u i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) } = { u e. v | ( u i^i ( A [,] B ) ) =/= (/) }
90	73, 74, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 88, 89	ovolicc2lem5 23289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) /\ ( g : v --> NN /\ A. t e. v ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = t ) ) ) -> ( B - A ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) )
91	90	expr 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) ) -> ( ( g : v --> NN /\ A. t e. v ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = t ) -> ( B - A ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) )
92	91	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) ) -> ( E. g ( g : v --> NN /\ A. t e. v ( ( (,) o. f ) ` ( g ` t ) ) = t ) -> ( B - A ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) )
93	72, 92	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) /\ ( A [,] B ) C_ U. v ) ) -> ( B - A ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) )
94	93	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) -> ( E. v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) ( A [,] B ) C_ U. v -> ( B - A ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) )
95	94	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) ) ) -> ( E. v e. ( ~P ran ( (,) o. f ) i^i Fin ) ( A [,] B ) C_ U. v -> ( B - A ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) )
96	54, 95	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) ) ) -> ( B - A ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) )
97		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( z = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) -> ( ( B - A ) <_ z <-> ( B - A ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) )
98	96, 97	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) ) ) -> ( z = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) -> ( B - A ) <_ z ) )
99	98	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) -> ( ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) -> ( z = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) -> ( B - A ) <_ z ) ) )
100	99	impd 447	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) -> ( ( ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ z = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) -> ( B - A ) <_ z ) )
101	100	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ z = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) -> ( B - A ) <_ z ) )
102	2, 101	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. M -> ( B - A ) <_ z ) )
103	102	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ph -> A. z e. M ( B - A ) <_ z )
104		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { y e. RR* | E. f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( ( A [,] B ) C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) } C_ RR*
105	1, 104	eqsstri 3635	. . . 4 |- M C_ RR*
106	33, 32	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
107	106	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR* )
108		infxrgelb 12165	. . . 4 |- ( ( M C_ RR* /\ ( B - A ) e. RR* ) -> ( ( B - A ) <_ inf ( M , RR* , < ) <-> A. z e. M ( B - A ) <_ z ) )
109	105, 107, 108	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( ( B - A ) <_ inf ( M , RR* , < ) <-> A. z e. M ( B - A ) <_ z ) )
110	103, 109	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( B - A ) <_ inf ( M , RR* , < ) )
111	1	ovolval 23242	. . 3 |- ( ( A [,] B ) C_ RR -> ( vol* ` ( A [,] B ) ) = inf ( M , RR* , < ) )
112	40, 111	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` ( A [,] B ) ) = inf ( M , RR* , < ) )
113	110, 112	breqtrrd 4681	1 |- ( ph -> ( B - A ) <_ ( vol* ` ( A [,] B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   supcsup 8346  infcinf 8347   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   seqcseq 12801   abscabs 13974   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   Topctop 20698   TopBasesctb 20749   Compccmp 21189   vol*covol 23231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233

This theorem is referenced by:  ovolicc  23291