Theorem qdensere 22573

Description: QQ is dense in the standard topology on RR. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qdensere	|- ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) = RR

Proof of Theorem qdensere

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 22565	. . 3 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
2		qssre 11798	. . 3 |- QQ C_ RR
3		uniretop 22566	. . . 4 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
4	3	clsss3 20863	. . 3 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ QQ C_ RR ) -> ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) C_ RR )
5	1, 2, 4	mp2an 708	. 2 |- ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) C_ RR
6		ioof 12271	. . . . . . 7 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
7		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
8		ovelrn 6810	. . . . . . 7 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( y e. ran (,) <-> E. z e. RR* E. w e. RR* y = ( z (,) w ) ) )
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( y e. ran (,) <-> E. z e. RR* E. w e. RR* y = ( z (,) w ) )
10		elioo3g 12204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( z (,) w ) <-> ( ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ x e. RR* ) /\ ( z < x /\ x < w ) ) )
11	10	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( z (,) w ) -> ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ x e. RR* ) )
12	11	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( z (,) w ) -> z e. RR* )
13	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> z e. RR* )
14	11	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( z (,) w ) -> w e. RR* )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> w e. RR* )
16		qre 11793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. QQ -> y e. RR )
17	16	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> y e. RR )
18	17	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> y e. RR* )
19	13, 15, 18	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ y e. RR* ) )
20		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> ( z < y /\ y < w ) )
21		elioo3g 12204	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( z (,) w ) <-> ( ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ y e. RR* ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) )
22	19, 20, 21	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> y e. ( z (,) w ) )
23		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> y e. QQ )
24		inelcm 4032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) )
25	22, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) )
26	11	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( z (,) w ) -> x e. RR* )
27		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( z (,) w ) -> ( z < x /\ x < w ) )
28	27	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( z (,) w ) -> z < x )
29	27	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( z (,) w ) -> x < w )
30	12, 26, 14, 28, 29	xrlttrd 11990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( z (,) w ) -> z < w )
31		qbtwnxr 12031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ z < w ) -> E. y e. QQ ( z < y /\ y < w ) )
32	12, 14, 30, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( z (,) w ) -> E. y e. QQ ( z < y /\ y < w ) )
33	25, 32	r19.29a 3078	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( z (,) w ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) )
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( x e. ( z (,) w ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) ) )
35		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( x e. y <-> x e. ( z (,) w ) ) )
36		ineq1 3807	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( y i^i QQ ) = ( ( z (,) w ) i^i QQ ) )
37	36	neeq1d 2853	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( ( y i^i QQ ) =/= (/) <-> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) ) )
38	34, 35, 37	3imtr4d 283	. . . . . . . 8 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) )
39	38	rexlimivw 3029	. . . . . . 7 |- ( E. w e. RR* y = ( z (,) w ) -> ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) )
40	39	rexlimivw 3029	. . . . . 6 |- ( E. z e. RR* E. w e. RR* y = ( z (,) w ) -> ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) )
41	9, 40	sylbi 207	. . . . 5 |- ( y e. ran (,) -> ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) )
42	41	rgen 2922	. . . 4 |- A. y e. ran (,) ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) )
43		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) ) )
44	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( x e. RR -> RR = U. ( topGen ` ran (,) ) )
45		retopbas 22564	. . . . . 6 |- ran (,) e. TopBases
46	45	a1i 11	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ran (,) e. TopBases )
47	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( x e. RR -> QQ C_ RR )
48		id 22	. . . . 5 |- ( x e. RR -> x e. RR )
49	43, 44, 46, 47, 48	elcls3 20887	. . . 4 |- ( x e. RR -> ( x e. ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) <-> A. y e. ran (,) ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) ) )
50	42, 49	mpbiri 248	. . 3 |- ( x e. RR -> x e. ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) )
51	50	ssriv 3607	. 2 |- RR C_ ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ )
52	5, 51	eqssi 3619	1 |- ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) = RR

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   QQcq 11788   (,)cioo 12175   topGenctg 16098   Topctop 20698   TopBasesctb 20749   clsccl 20822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-ioo 12179  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825

This theorem is referenced by:  qdensere2  22600  resscdrg  23154  ipasslem8  27692  rrhcn  30041  rrhre  30065