Theorem serge0 12855

Description: A finite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
serge0.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
serge0.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
serge0.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 0 <_ ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
serge0	|- ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem serge0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		serge0.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		serge0.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
3		serge0.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 0 <_ ( F ` k ) )
4		breq2 4657	. . . . 5 |- ( x = ( F ` k ) -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ ( F ` k ) ) )
5	4	elrab 3363	. . . 4 |- ( ( F ` k ) e. { x e. RR | 0 <_ x } <-> ( ( F ` k ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` k ) ) )
6	2, 3, 5	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. { x e. RR | 0 <_ x } )
7		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ k ) )
8	7	elrab 3363	. . . . 5 |- ( k e. { x e. RR | 0 <_ x } <-> ( k e. RR /\ 0 <_ k ) )
9		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ y ) )
10	9	elrab 3363	. . . . 5 |- ( y e. { x e. RR | 0 <_ x } <-> ( y e. RR /\ 0 <_ y ) )
11		readdcl 10019	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR /\ y e. RR ) -> ( k + y ) e. RR )
12	11	ad2ant2r 783	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. RR /\ 0 <_ k ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> ( k + y ) e. RR )
13		addge0 10517	. . . . . . 7 |- ( ( ( k e. RR /\ y e. RR ) /\ ( 0 <_ k /\ 0 <_ y ) ) -> 0 <_ ( k + y ) )
14	13	an4s 869	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. RR /\ 0 <_ k ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> 0 <_ ( k + y ) )
15		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( x = ( k + y ) -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ ( k + y ) ) )
16	15	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( ( k + y ) e. { x e. RR | 0 <_ x } <-> ( ( k + y ) e. RR /\ 0 <_ ( k + y ) ) )
17	12, 14, 16	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ( k e. RR /\ 0 <_ k ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> ( k + y ) e. { x e. RR | 0 <_ x } )
18	8, 10, 17	syl2anb 496	. . . 4 |- ( ( k e. { x e. RR | 0 <_ x } /\ y e. { x e. RR | 0 <_ x } ) -> ( k + y ) e. { x e. RR | 0 <_ x } )
19	18	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. { x e. RR | 0 <_ x } /\ y e. { x e. RR | 0 <_ x } ) ) -> ( k + y ) e. { x e. RR | 0 <_ x } )
20	1, 6, 19	seqcl 12821	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) ` N ) e. { x e. RR | 0 <_ x } )
21		breq2 4657	. . . 4 |- ( x = ( seq M ( + , F ) ` N ) -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) ) )
22	21	elrab 3363	. . 3 |- ( ( seq M ( + , F ) ` N ) e. { x e. RR | 0 <_ x } <-> ( ( seq M ( + , F ) ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) ) )
23	22	simprbi 480	. 2 |- ( ( seq M ( + , F ) ` N ) e. { x e. RR | 0 <_ x } -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) )
24	20, 23	syl 17	1 |- ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   {crab 2916   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802

This theorem is referenced by:  serle  12856