Theorem sqlecan 12971

Description: Cancel one factor of a square in a <_ comparison. Unlike lemul1 10875, the common factor A may be zero. (Contributed by NM, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sqlecan	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) <-> A <_ B ) )

Proof of Theorem sqlecan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10040	. . . 4 |- 0 e. RR
2		leloe 10124	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> ( 0 < A \/ 0 = A ) ) )
3	1, 2	mpan 706	. . 3 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> ( 0 < A \/ 0 = A ) ) )
4		recn 10026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR -> A e. CC )
5		sqval 12922	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
7	6	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> ( ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) <-> ( A x. A ) <_ ( B x. A ) ) )
8	7	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) <-> ( A x. A ) <_ ( B x. A ) ) )
9		lemul1 10875	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( A <_ B <-> ( A x. A ) <_ ( B x. A ) ) )
10	8, 9	bitr4d 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) <-> A <_ B ) )
11	10	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) <-> A <_ B ) ) ) )
12	11	exp4a 633	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( A e. RR -> ( 0 < A -> ( ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) <-> A <_ B ) ) ) ) )
13	12	pm2.43a 54	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( 0 < A -> ( ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) <-> A <_ B ) ) ) )
14	13	adantrd 484	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( 0 < A -> ( ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) <-> A <_ B ) ) ) )
15	14	com23 86	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( 0 < A -> ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) <-> A <_ B ) ) ) )
16		sq0 12955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ^ 2 ) = 0
17		0le0 11110	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 0
18	16, 17	eqbrtri 4674	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ^ 2 ) <_ 0
19		recn 10026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> B e. CC )
20	19	mul01d 10235	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> ( B x. 0 ) = 0 )
21	18, 20	syl5breqr 4691	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. RR -> ( 0 ^ 2 ) <_ ( B x. 0 ) )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 = A /\ B e. RR ) -> ( 0 ^ 2 ) <_ ( B x. 0 ) )
23		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 = A -> ( 0 ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
24		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 = A -> ( B x. 0 ) = ( B x. A ) )
25	23, 24	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 = A -> ( ( 0 ^ 2 ) <_ ( B x. 0 ) <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) ) )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 = A /\ B e. RR ) -> ( ( 0 ^ 2 ) <_ ( B x. 0 ) <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) ) )
27	22, 26	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 = A /\ B e. RR ) -> ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) )
28	27	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( 0 = A /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) )
29		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( 0 = A -> ( 0 <_ B <-> A <_ B ) )
30	29	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 = A /\ 0 <_ B ) -> A <_ B )
31	30	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( 0 = A /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A <_ B )
32	28, 31	2thd 255	. . . . . 6 |- ( ( 0 = A /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) <-> A <_ B ) )
33	32	ex 450	. . . . 5 |- ( 0 = A -> ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) <-> A <_ B ) ) )
34	33	a1i 11	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( 0 = A -> ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) <-> A <_ B ) ) ) )
35	15, 34	jaod 395	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < A \/ 0 = A ) -> ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) <-> A <_ B ) ) ) )
36	3, 35	sylbid 230	. 2 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A -> ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) <-> A <_ B ) ) ) )
37	36	imp31 448	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) <_ ( B x. A ) <-> A <_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by: (None)