Theorem srngmul 18858

Description: The involution function in a star ring distributes over multiplication, with a change in the order of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngcl.i	|- .* = ( *r ` R )
srngcl.b	|- B = ( Base ` R )
srngmul.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srngmul	|- ( ( R e. *Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( .* ` ( X .x. Y ) ) = ( ( .* ` Y ) .x. ( .* ` X ) ) )

Proof of Theorem srngmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( *rf ` R ) = ( *rf ` R )
3	1, 2	srngrhm 18851	. . . 4 |- ( R e. *Ring -> ( *rf ` R ) e. ( R RingHom (oppr ` R ) ) )
4		srngcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
5		srngmul.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
6		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .r ` (oppr ` R ) ) = ( .r ` (oppr ` R ) )
7	4, 5, 6	rhmmul 18727	. . . 4 |- ( ( ( *rf ` R ) e. ( R RingHom (oppr ` R ) ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( *rf ` R ) ` ( X .x. Y ) ) = ( ( ( *rf ` R ) ` X ) ( .r ` (oppr ` R ) ) ( ( *rf ` R ) ` Y ) ) )
8	3, 7	syl3an1 1359	. . 3 |- ( ( R e. *Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( *rf ` R ) ` ( X .x. Y ) ) = ( ( ( *rf ` R ) ` X ) ( .r ` (oppr ` R ) ) ( ( *rf ` R ) ` Y ) ) )
9	4, 5, 1, 6	opprmul 18626	. . 3 |- ( ( ( *rf ` R ) ` X ) ( .r ` (oppr ` R ) ) ( ( *rf ` R ) ` Y ) ) = ( ( ( *rf ` R ) ` Y ) .x. ( ( *rf ` R ) ` X ) )
10	8, 9	syl6eq 2672	. 2 |- ( ( R e. *Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( *rf ` R ) ` ( X .x. Y ) ) = ( ( ( *rf ` R ) ` Y ) .x. ( ( *rf ` R ) ` X ) ) )
11		srngring 18852	. . . 4 |- ( R e. *Ring -> R e. Ring )
12	4, 5	ringcl 18561	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )
13	11, 12	syl3an1 1359	. . 3 |- ( ( R e. *Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )
14		srngcl.i	. . . 4 |- .* = ( *r ` R )
15	4, 14, 2	stafval 18848	. . 3 |- ( ( X .x. Y ) e. B -> ( ( *rf ` R ) ` ( X .x. Y ) ) = ( .* ` ( X .x. Y ) ) )
16	13, 15	syl 17	. 2 |- ( ( R e. *Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( *rf ` R ) ` ( X .x. Y ) ) = ( .* ` ( X .x. Y ) ) )
17	4, 14, 2	stafval 18848	. . . 4 |- ( Y e. B -> ( ( *rf ` R ) ` Y ) = ( .* ` Y ) )
18	17	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( R e. *Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( *rf ` R ) ` Y ) = ( .* ` Y ) )
19	4, 14, 2	stafval 18848	. . . 4 |- ( X e. B -> ( ( *rf ` R ) ` X ) = ( .* ` X ) )
20	19	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( R e. *Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( *rf ` R ) ` X ) = ( .* ` X ) )
21	18, 20	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( R e. *Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( *rf ` R ) ` Y ) .x. ( ( *rf ` R ) ` X ) ) = ( ( .* ` Y ) .x. ( .* ` X ) ) )
22	10, 16, 21	3eqtr3d 2664	1 |- ( ( R e. *Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( .* ` ( X .x. Y ) ) = ( ( .* ` Y ) .x. ( .* ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   *rcstv 15943   Ringcrg 18547  opp_rcoppr 18622   RingHom crh 18712   *rfcstf 18843   *Ringcsr 18844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-rnghom 18715  df-staf 18845  df-srng 18846

This theorem is referenced by:  ipassr  19991