Theorem srngnvl 18856

Description: The involution function in a star ring is an involution. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngcl.i	|- .* = ( *r ` R )
srngcl.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
srngnvl	|- ( ( R e. *Ring /\ X e. B ) -> ( .* ` ( .* ` X ) ) = X )

Proof of Theorem srngnvl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srngcl.i	. . . 4 |- .* = ( *r ` R )
2		srngcl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
3	1, 2	srngcl 18855	. . 3 |- ( ( R e. *Ring /\ X e. B ) -> ( .* ` X ) e. B )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( *rf ` R ) = ( *rf ` R )
5	2, 1, 4	stafval 18848	. . 3 |- ( ( .* ` X ) e. B -> ( ( *rf ` R ) ` ( .* ` X ) ) = ( .* ` ( .* ` X ) ) )
6	3, 5	syl 17	. 2 |- ( ( R e. *Ring /\ X e. B ) -> ( ( *rf ` R ) ` ( .* ` X ) ) = ( .* ` ( .* ` X ) ) )
7	4	srngcnv 18853	. . . . 5 |- ( R e. *Ring -> ( *rf ` R ) = `' ( *rf ` R ) )
8	7	adantr 481	. . . 4 |- ( ( R e. *Ring /\ X e. B ) -> ( *rf ` R ) = `' ( *rf ` R ) )
9	8	fveq1d 6193	. . 3 |- ( ( R e. *Ring /\ X e. B ) -> ( ( *rf ` R ) ` ( ( *rf ` R ) ` X ) ) = ( `' ( *rf ` R ) ` ( ( *rf ` R ) ` X ) ) )
10	2, 1, 4	stafval 18848	. . . . 5 |- ( X e. B -> ( ( *rf ` R ) ` X ) = ( .* ` X ) )
11	10	adantl 482	. . . 4 |- ( ( R e. *Ring /\ X e. B ) -> ( ( *rf ` R ) ` X ) = ( .* ` X ) )
12	11	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( R e. *Ring /\ X e. B ) -> ( ( *rf ` R ) ` ( ( *rf ` R ) ` X ) ) = ( ( *rf ` R ) ` ( .* ` X ) ) )
13	4, 2	srngf1o 18854	. . . 4 |- ( R e. *Ring -> ( *rf ` R ) : B -1-1-onto-> B )
14		f1ocnvfv1 6532	. . . 4 |- ( ( ( *rf ` R ) : B -1-1-onto-> B /\ X e. B ) -> ( `' ( *rf ` R ) ` ( ( *rf ` R ) ` X ) ) = X )
15	13, 14	sylan 488	. . 3 |- ( ( R e. *Ring /\ X e. B ) -> ( `' ( *rf ` R ) ` ( ( *rf ` R ) ` X ) ) = X )
16	9, 12, 15	3eqtr3d 2664	. 2 |- ( ( R e. *Ring /\ X e. B ) -> ( ( *rf ` R ) ` ( .* ` X ) ) = X )
17	6, 16	eqtr3d 2658	1 |- ( ( R e. *Ring /\ X e. B ) -> ( .* ` ( .* ` X ) ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   `'ccnv 5113   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Basecbs 15857   *rcstv 15943   *rfcstf 18843   *Ringcsr 18844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mhm 17335  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-rnghom 18715  df-staf 18845  df-srng 18846

This theorem is referenced by:  ipassr2  19992