Theorem ordcmp 32446

Description: An ordinal topology is compact iff the underlying set is its supremum (union) only when the ordinal is 1o. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordcmp	|- ( Ord A -> ( A e. Comp <-> ( U. A = U. U. A -> A = 1o ) ) )

Proof of Theorem ordcmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orduni 6994	. . . 4 |- ( Ord A -> Ord U. A )
2		unizlim 5844	. . . . . 6 |- ( Ord U. A -> ( U. A = U. U. A <-> ( U. A = (/) \/ Lim U. A ) ) )
3		uni0b 4463	. . . . . . 7 |- ( U. A = (/) <-> A C_ { (/) } )
4	3	orbi1i 542	. . . . . 6 |- ( ( U. A = (/) \/ Lim U. A ) <-> ( A C_ { (/) } \/ Lim U. A ) )
5	2, 4	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( Ord U. A -> ( U. A = U. U. A <-> ( A C_ { (/) } \/ Lim U. A ) ) )
6	5	biimpd 219	. . . 4 |- ( Ord U. A -> ( U. A = U. U. A -> ( A C_ { (/) } \/ Lim U. A ) ) )
7	1, 6	syl 17	. . 3 |- ( Ord A -> ( U. A = U. U. A -> ( A C_ { (/) } \/ Lim U. A ) ) )
8		sssn 4358	. . . . . . 7 |- ( A C_ { (/) } <-> ( A = (/) \/ A = { (/) } ) )
9		0ntop 20710	. . . . . . . . . . 11 |- -. (/) e. Top
10		cmptop 21198	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. Comp -> (/) e. Top )
11	9, 10	mto 188	. . . . . . . . . 10 |- -. (/) e. Comp
12		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> ( A e. Comp <-> (/) e. Comp ) )
13	11, 12	mtbiri 317	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> -. A e. Comp )
14	13	pm2.21d 118	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> ( A e. Comp -> A = 1o ) )
15		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( A = { (/) } -> A = { (/) } )
16		df1o2 7572	. . . . . . . . . 10 |- 1o = { (/) }
17	15, 16	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( A = { (/) } -> A = 1o )
18	17	a1d 25	. . . . . . . 8 |- ( A = { (/) } -> ( A e. Comp -> A = 1o ) )
19	14, 18	jaoi 394	. . . . . . 7 |- ( ( A = (/) \/ A = { (/) } ) -> ( A e. Comp -> A = 1o ) )
20	8, 19	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( A C_ { (/) } -> ( A e. Comp -> A = 1o ) )
21	20	a1i 11	. . . . 5 |- ( Ord A -> ( A C_ { (/) } -> ( A e. Comp -> A = 1o ) ) )
22		ordtop 32435	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord A -> ( A e. Top <-> A =/= U. A ) )
23	22	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord A -> ( A e. Top -> A =/= U. A ) )
24	23	necon2bd 2810	. . . . . . . . 9 |- ( Ord A -> ( A = U. A -> -. A e. Top ) )
25		cmptop 21198	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Comp -> A e. Top )
26	25	con3i 150	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. Top -> -. A e. Comp )
27	24, 26	syl6 35	. . . . . . . 8 |- ( Ord A -> ( A = U. A -> -. A e. Comp ) )
28	27	a1dd 50	. . . . . . 7 |- ( Ord A -> ( A = U. A -> ( Lim U. A -> -. A e. Comp ) ) )
29		limsucncmp 32445	. . . . . . . . 9 |- ( Lim U. A -> -. suc U. A e. Comp )
30		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( A = suc U. A -> ( A e. Comp <-> suc U. A e. Comp ) )
31	30	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( A = suc U. A -> ( -. A e. Comp <-> -. suc U. A e. Comp ) )
32	29, 31	syl5ibr 236	. . . . . . . 8 |- ( A = suc U. A -> ( Lim U. A -> -. A e. Comp ) )
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( Ord A -> ( A = suc U. A -> ( Lim U. A -> -. A e. Comp ) ) )
34		orduniorsuc 7030	. . . . . . 7 |- ( Ord A -> ( A = U. A \/ A = suc U. A ) )
35	28, 33, 34	mpjaod 396	. . . . . 6 |- ( Ord A -> ( Lim U. A -> -. A e. Comp ) )
36		pm2.21 120	. . . . . 6 |- ( -. A e. Comp -> ( A e. Comp -> A = 1o ) )
37	35, 36	syl6 35	. . . . 5 |- ( Ord A -> ( Lim U. A -> ( A e. Comp -> A = 1o ) ) )
38	21, 37	jaod 395	. . . 4 |- ( Ord A -> ( ( A C_ { (/) } \/ Lim U. A ) -> ( A e. Comp -> A = 1o ) ) )
39	38	com23 86	. . 3 |- ( Ord A -> ( A e. Comp -> ( ( A C_ { (/) } \/ Lim U. A ) -> A = 1o ) ) )
40	7, 39	syl5d 73	. 2 |- ( Ord A -> ( A e. Comp -> ( U. A = U. U. A -> A = 1o ) ) )
41		ordeleqon 6988	. . . . . . 7 |- ( Ord A <-> ( A e. On \/ A = On ) )
42		unon 7031	. . . . . . . . . . 11 |- U. On = On
43	42	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- On = U. On
44	43	unieqi 4445	. . . . . . . . 9 |- U. On = U. U. On
45		unieq 4444	. . . . . . . . 9 |- ( A = On -> U. A = U. On )
46	45	unieqd 4446	. . . . . . . . 9 |- ( A = On -> U. U. A = U. U. On )
47	44, 45, 46	3eqtr4a 2682	. . . . . . . 8 |- ( A = On -> U. A = U. U. A )
48	47	orim2i 540	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On \/ A = On ) -> ( A e. On \/ U. A = U. U. A ) )
49	41, 48	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( Ord A -> ( A e. On \/ U. A = U. U. A ) )
50	49	orcomd 403	. . . . 5 |- ( Ord A -> ( U. A = U. U. A \/ A e. On ) )
51	50	ord 392	. . . 4 |- ( Ord A -> ( -. U. A = U. U. A -> A e. On ) )
52		unieq 4444	. . . . . . 7 |- ( A = U. A -> U. A = U. U. A )
53	52	con3i 150	. . . . . 6 |- ( -. U. A = U. U. A -> -. A = U. A )
54	34	ord 392	. . . . . 6 |- ( Ord A -> ( -. A = U. A -> A = suc U. A ) )
55	53, 54	syl5 34	. . . . 5 |- ( Ord A -> ( -. U. A = U. U. A -> A = suc U. A ) )
56		orduniorsuc 7030	. . . . . . . 8 |- ( Ord U. A -> ( U. A = U. U. A \/ U. A = suc U. U. A ) )
57	1, 56	syl 17	. . . . . . 7 |- ( Ord A -> ( U. A = U. U. A \/ U. A = suc U. U. A ) )
58	57	ord 392	. . . . . 6 |- ( Ord A -> ( -. U. A = U. U. A -> U. A = suc U. U. A ) )
59		suceq 5790	. . . . . 6 |- ( U. A = suc U. U. A -> suc U. A = suc suc U. U. A )
60	58, 59	syl6 35	. . . . 5 |- ( Ord A -> ( -. U. A = U. U. A -> suc U. A = suc suc U. U. A ) )
61		eqtr 2641	. . . . . 6 |- ( ( A = suc U. A /\ suc U. A = suc suc U. U. A ) -> A = suc suc U. U. A )
62	61	ex 450	. . . . 5 |- ( A = suc U. A -> ( suc U. A = suc suc U. U. A -> A = suc suc U. U. A ) )
63	55, 60, 62	syl6c 70	. . . 4 |- ( Ord A -> ( -. U. A = U. U. A -> A = suc suc U. U. A ) )
64		onuni 6993	. . . . 5 |- ( A e. On -> U. A e. On )
65		onuni 6993	. . . . 5 |- ( U. A e. On -> U. U. A e. On )
66		onsucsuccmp 32443	. . . . 5 |- ( U. U. A e. On -> suc suc U. U. A e. Comp )
67		eleq1a 2696	. . . . 5 |- ( suc suc U. U. A e. Comp -> ( A = suc suc U. U. A -> A e. Comp ) )
68	64, 65, 66, 67	4syl 19	. . . 4 |- ( A e. On -> ( A = suc suc U. U. A -> A e. Comp ) )
69	51, 63, 68	syl6c 70	. . 3 |- ( Ord A -> ( -. U. A = U. U. A -> A e. Comp ) )
70		id 22	. . . . . 6 |- ( A = 1o -> A = 1o )
71	70, 16	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( A = 1o -> A = { (/) } )
72		0cmp 21197	. . . . 5 |- { (/) } e. Comp
73	71, 72	syl6eqel 2709	. . . 4 |- ( A = 1o -> A e. Comp )
74	73	a1i 11	. . 3 |- ( Ord A -> ( A = 1o -> A e. Comp ) )
75	69, 74	jad 174	. 2 |- ( Ord A -> ( ( U. A = U. U. A -> A = 1o ) -> A e. Comp ) )
76	40, 75	impbid 202	1 |- ( Ord A -> ( A e. Comp <-> ( U. A = U. U. A -> A = 1o ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725   1oc1o 7553   Topctop 20698   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190

This theorem is referenced by: (None)