Theorem letri3d 10179

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
letri3d	|- ( ph -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		letri3 10123	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RRcr 9935   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  add20  10540  eqord1  10556  msq11  10924  supadd  10991  supmul  10995  suprzcl  11457  uzwo3  11783  flid  12609  flval3  12616  gcd0id  15240  gcdneg  15243  bezoutlem4  15259  gcdzeq  15271  lcmneg  15316  coprmgcdb  15362  qredeq  15371  pcidlem  15576  pcgcd1  15581  4sqlem17  15665  0ram  15724  ram0  15726  mndodconglem  17960  sylow1lem5  18017  zntoslem  19905  cnmpt2pc  22727  ovolsca  23283  ismbl2  23295  voliunlem2  23319  dyadmaxlem  23365  mbfi1fseqlem4  23485  itg2cnlem1  23528  ditgneg  23621  rolle  23753  dvivthlem1  23771  plyeq0lem  23966  dgreq  24000  coemulhi  24010  dgradd2  24024  dgrmul  24026  plydiveu  24053  vieta1lem2  24066  pilem3  24207  zabsle1  25021  ostth2  25326  brbtwn2  25785  axcontlem8  25851  nmophmi  28890  leoptri  28995  2sqmod  29648  fzto1st1  29852  ballotlemfc0  30554  ballotlemfcc  30555  poimirlem23  33432  rmspecfund  37474  ubelsupr  39179  lefldiveq  39505  wallispilem3  40284  fourierdlem6  40330  fourierdlem42  40366  fourierdlem50  40373  fourierdlem52  40375  fourierdlem54  40377  fourierdlem79  40402  fourierdlem102  40425  fourierdlem114  40437  2ffzoeq  41338  lighneallem2  41523