Theorem tendococl 36060

Description: The composition of two trace-preserving endomorphisms (multiplication in the endormorphism ring) is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoco.h	|- H = ( LHyp ` K )
tendoco.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
tendococl	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) -> ( S o. T ) e. E )

Proof of Theorem tendococl

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
2		tendoco.h	. 2 |- H = ( LHyp ` K )
3		eqid 2622	. 2 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
4		eqid 2622	. 2 |- ( ( trL ` K ) ` W ) = ( ( trL ` K ) ` W )
5		tendoco.e	. 2 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
6		simp1 1061	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) -> S e. E )
8	2, 3, 5	tendof 36051	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> S : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
9	6, 7, 8	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) -> S : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
10		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) -> T e. E )
11	2, 3, 5	tendof 36051	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ T e. E ) -> T : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
12	6, 10, 11	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) -> T : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
13		fco 6058	. . 3 |- ( ( S : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ T : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( S o. T ) : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
14	9, 12, 13	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) -> ( S o. T ) : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
15		simp11l 1172	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> K e. HL )
16		simp11r 1173	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> W e. H )
17		simp13 1093	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> T e. E )
18		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
19		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
20	2, 3, 5	tendovalco 36053	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. E ) /\ ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) ) -> ( T ` ( f o. g ) ) = ( ( T ` f ) o. ( T ` g ) ) )
21	15, 16, 17, 18, 19, 20	syl32anc 1334	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( T ` ( f o. g ) ) = ( ( T ` f ) o. ( T ` g ) ) )
22	21	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( S ` ( T ` ( f o. g ) ) ) = ( S ` ( ( T ` f ) o. ( T ` g ) ) ) )
23		simp12 1092	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> S e. E )
24		simp11 1091	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
25	2, 3, 5	tendocl 36055	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ T e. E /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( T ` f ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
26	24, 17, 18, 25	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( T ` f ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
27	2, 3, 5	tendocl 36055	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ T e. E /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( T ` g ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
28	24, 17, 19, 27	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( T ` g ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
29	2, 3, 5	tendovalco 36053	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ S e. E ) /\ ( ( T ` f ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( T ` g ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) ) -> ( S ` ( ( T ` f ) o. ( T ` g ) ) ) = ( ( S ` ( T ` f ) ) o. ( S ` ( T ` g ) ) ) )
30	15, 16, 23, 26, 28, 29	syl32anc 1334	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( S ` ( ( T ` f ) o. ( T ` g ) ) ) = ( ( S ` ( T ` f ) ) o. ( S ` ( T ` g ) ) ) )
31	22, 30	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( S ` ( T ` ( f o. g ) ) ) = ( ( S ` ( T ` f ) ) o. ( S ` ( T ` g ) ) ) )
32	2, 3	ltrnco 36007	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( f o. g ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
33	24, 18, 19, 32	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( f o. g ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
34	2, 3, 5	tendocoval 36054	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ T e. E ) /\ ( f o. g ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` ( f o. g ) ) = ( S ` ( T ` ( f o. g ) ) ) )
35	24, 23, 17, 33, 34	syl121anc 1331	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` ( f o. g ) ) = ( S ` ( T ` ( f o. g ) ) ) )
36	2, 3, 5	tendocoval 36054	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` f ) = ( S ` ( T ` f ) ) )
37	15, 16, 23, 17, 18, 36	syl221anc 1337	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` f ) = ( S ` ( T ` f ) ) )
38	2, 3, 5	tendocoval 36054	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ T e. E ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` g ) = ( S ` ( T ` g ) ) )
39	15, 16, 23, 17, 19, 38	syl221anc 1337	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` g ) = ( S ` ( T ` g ) ) )
40	37, 39	coeq12d 5286	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( S o. T ) ` f ) o. ( ( S o. T ) ` g ) ) = ( ( S ` ( T ` f ) ) o. ( S ` ( T ` g ) ) ) )
41	31, 35, 40	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` ( f o. g ) ) = ( ( ( S o. T ) ` f ) o. ( ( S o. T ) ` g ) ) )
42		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
43		simpl1l 1112	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> K e. HL )
44		hllat 34650	. . . 4 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
45	43, 44	syl 17	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> K e. Lat )
46		simpl1 1064	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
47		simpl2 1065	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> S e. E )
48		simpl3 1066	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> T e. E )
49		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
50	46, 47, 48, 49, 36	syl121anc 1331	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` f ) = ( S ` ( T ` f ) ) )
51	46, 48, 49, 25	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( T ` f ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
52	2, 3, 5	tendocl 36055	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( T ` f ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( S ` ( T ` f ) ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
53	46, 47, 51, 52	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( S ` ( T ` f ) ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
54	50, 53	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` f ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
55	42, 2, 3, 4	trlcl 35451	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( S o. T ) ` f ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( ( S o. T ) ` f ) ) e. ( Base ` K ) )
56	46, 54, 55	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( ( S o. T ) ` f ) ) e. ( Base ` K ) )
57	42, 2, 3, 4	trlcl 35451	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( T ` f ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( T ` f ) ) e. ( Base ` K ) )
58	46, 51, 57	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( T ` f ) ) e. ( Base ` K ) )
59	42, 2, 3, 4	trlcl 35451	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) )
60	46, 49, 59	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) )
61		simpl1r 1113	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> W e. H )
62	43, 61, 47, 48, 49, 36	syl221anc 1337	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` f ) = ( S ` ( T ` f ) ) )
63	62	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( ( S o. T ) ` f ) ) = ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( S ` ( T ` f ) ) ) )
64	1, 2, 3, 4, 5	tendotp 36049	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( T ` f ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( S ` ( T ` f ) ) ) ( le ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( T ` f ) ) )
65	46, 47, 51, 64	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( S ` ( T ` f ) ) ) ( le ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( T ` f ) ) )
66	63, 65	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( ( S o. T ) ` f ) ) ( le ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( T ` f ) ) )
67	1, 2, 3, 4, 5	tendotp 36049	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ T e. E /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( T ` f ) ) ( le ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) )
68	46, 48, 49, 67	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( T ` f ) ) ( le ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) )
69	42, 1, 45, 56, 58, 60, 66, 68	lattrd 17058	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( ( S o. T ) ` f ) ) ( le ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) )
70	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 41, 69	istendod 36050	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) -> ( S o. T ) e. E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Latclat 17045   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   trLctrl 35445   TEndoctendo 36040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tendo 36043

This theorem is referenced by:  tendodi1  36072  tendodi2  36073  tendo0mul  36114  tendo0mulr  36115  tendoconid  36117  cdleml3N  36266  cdleml8  36271  erngdvlem3  36278  erngdvlem3-rN  36286  dvalveclem  36314  dvhvscacl  36392  dvhlveclem  36397  diblss  36459  dicvscacl  36480  dih1dimatlem0  36617