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Theorem dihopelvalcpre 36537
Description: Member of value of isomorphism H for a lattice K when -. X .<_ W, given auxiliary atom Q. TODO: refactor to be shorter and more understandable; add lemmas? (Contributed by NM, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihopelvalcp.b |- B = ( Base ` K )
dihopelvalcp.l |- .<_ = ( le ` K )
dihopelvalcp.j |- .\/ = ( join ` K )
dihopelvalcp.m |- ./\ = ( meet ` K )
dihopelvalcp.a |- A = ( Atoms ` K )
dihopelvalcp.h |- H = ( LHyp ` K )
dihopelvalcp.p |- P = ( ( oc ` K ) ` W )
dihopelvalcp.t |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dihopelvalcp.r |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
dihopelvalcp.e |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dihopelvalcp.i |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dihopelvalcp.g |- G = ( iota_ g e. T ( g ` P ) = Q )
dihopelvalcp.f |- F e. _V
dihopelvalcp.s |- S e. _V
dihopelvalcp.z |- Z = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
dihopelvalcp.n |- N = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
dihopelvalcp.c |- C = ( ( DIsoC ` K ) ` W )
dihopelvalcp.u |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihopelvalcp.d |- .+ = ( +g ` U )
dihopelvalcp.v |- V = ( LSubSp ` U )
dihopelvalcp.y |- .(+) = ( LSSum ` U )
dihopelvalcp.o |- O = ( a e. E , b e. E |-> ( h e. T |-> ( ( a ` h ) o. ( b ` h ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dihopelvalcpre |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( <. F , S >. e. ( I ` X ) <-> ( ( F e. T /\ S e. E ) /\ ( R ` ( F o. `' ( S ` G ) ) ) .<_ X ) ) )
Distinct variable groups:   .<_ , g   A, g   P, g   a, b, E   g, h, H   g, a, h, K, b   B, h   T, a, b, g, h   W, a, b, g, h   Q, g
Allowed substitution hints:   A( h, a, b)   B( g, a, b)   C( g, h, a, b)   P( h, a, b)   .+ ( g, h, a, b)   .(+) ( g, h, a, b)   Q( h, a, b)   R( g, h, a, b)   S( g, h, a, b)   U( g, h, a, b)   E( g, h)   F( g, h, a, b)   G( g, h, a, b)   H( a, b)   I( g, h, a, b)   .\/ ( g, h, a, b)   .<_ ( h, a, b)   ./\ ( g, h, a, b)   N( g, h, a, b)   O( g, h, a, b)   V( g, h, a, b)   X( g, h, a, b)   Z( g, h, a, b)
Proof of Theorem dihopelvalcpre
Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihopelvalcp.b . . . 4 |- B = ( Base ` K )
2 dihopelvalcp.l . . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
3 dihopelvalcp.j . . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
4 dihopelvalcp.m . . . 4 |- ./\ = ( meet ` K )
5 dihopelvalcp.a . . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
6 dihopelvalcp.h . . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
7 dihopelvalcp.i . . . 4 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
8 dihopelvalcp.n . . . 4 |- N = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
9 dihopelvalcp.c . . . 4 |- C = ( ( DIsoC ` K ) ` W )
10 dihopelvalcp.u . . . 4 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
11 dihopelvalcp.y . . . 4 |- .(+) = ( LSSum ` U )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dihvalcq 36525 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( I ` X ) = ( ( C ` Q ) .(+) ( N ` ( X ./\ W ) ) ) )
1312eleq2d 2687 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( <. F , S >. e. ( I ` X ) <-> <. F , S >. e. ( ( C ` Q ) .(+) ( N ` ( X ./\ W ) ) ) ) )
14 simp1 1061 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
15 simp3l 1089 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
16 dihopelvalcp.v . . . . 5 |- V = ( LSubSp ` U )
172, 5, 6, 10, 9, 16diclss 36482 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( C ` Q ) e. V )
1814, 15, 17syl2anc 693 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( C ` Q ) e. V )
19 simp1l 1085 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> K e. HL )
20 hllat 34650 . . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
2119, 20syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> K e. Lat )
22 simp2l 1087 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> X e. B )
23 simp1r 1086 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> W e. H )
241, 6lhpbase 35284 . . . . . 6 |- ( W e. H -> W e. B )
2523, 24syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> W e. B )
261, 4latmcl 17052 . . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) e. B )
2721, 22, 25, 26syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( X ./\ W ) e. B )
281, 2, 4latmle2 17077 . . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) .<_ W )
2921, 22, 25, 28syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( X ./\ W ) .<_ W )
301, 2, 6, 10, 8, 16diblss 36459 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X ./\ W ) e. B /\ ( X ./\ W ) .<_ W ) ) -> ( N ` ( X ./\ W ) ) e. V )
3114, 27, 29, 30syl12anc 1324 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( N ` ( X ./\ W ) ) e. V )
32 dihopelvalcp.d . . . 4 |- .+ = ( +g ` U )
336, 10, 32, 16, 11dvhopellsm 36406 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( C ` Q ) e. V /\ ( N ` ( X ./\ W ) ) e. V ) -> ( <. F , S >. e. ( ( C ` Q ) .(+) ( N ` ( X ./\ W ) ) ) <-> E. x E. y E. z E. w ( ( <. x , y >. e. ( C ` Q ) /\ <. z , w >. e. ( N ` ( X ./\ W ) ) ) /\ <. F , S >. = ( <. x , y >. .+ <. z , w >. ) ) ) )
3414, 18, 31, 33syl3anc 1326 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( <. F , S >. e. ( ( C ` Q ) .(+) ( N ` ( X ./\ W ) ) ) <-> E. x E. y E. z E. w ( ( <. x , y >. e. ( C ` Q ) /\ <. z , w >. e. ( N ` ( X ./\ W ) ) ) /\ <. F , S >. = ( <. x , y >. .+ <. z , w >. ) ) ) )
35 dihopelvalcp.p . . . . . . . . 9 |- P = ( ( oc ` K ) ` W )
36 dihopelvalcp.t . . . . . . . . 9 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
37 dihopelvalcp.e . . . . . . . . 9 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
38 dihopelvalcp.g . . . . . . . . 9 |- G = ( iota_ g e. T ( g ` P ) = Q )
39 vex 3203 . . . . . . . . 9 |- x e. _V
40 vex 3203 . . . . . . . . 9 |- y e. _V
412, 5, 6, 35, 36, 37, 9, 38, 39, 40dicopelval2 36470 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( <. x , y >. e. ( C ` Q ) <-> ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) ) )
4214, 15, 41syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( <. x , y >. e. ( C ` Q ) <-> ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) ) )
43 dihopelvalcp.r . . . . . . . . 9 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
44 dihopelvalcp.z . . . . . . . . 9 |- Z = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
451, 2, 6, 36, 43, 44, 8dibopelval3 36437 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X ./\ W ) e. B /\ ( X ./\ W ) .<_ W ) ) -> ( <. z , w >. e. ( N ` ( X ./\ W ) ) <-> ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) )
4614, 27, 29, 45syl12anc 1324 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( <. z , w >. e. ( N ` ( X ./\ W ) ) <-> ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) )
4742, 46anbi12d 747 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( ( <. x , y >. e. ( C ` Q ) /\ <. z , w >. e. ( N ` ( X ./\ W ) ) ) <-> ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) )
4847anbi1d 741 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( ( ( <. x , y >. e. ( C ` Q ) /\ <. z , w >. e. ( N ` ( X ./\ W ) ) ) /\ <. F , S >. = ( <. x , y >. .+ <. z , w >. ) ) <-> ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ <. F , S >. = ( <. x , y >. .+ <. z , w >. ) ) ) )
49 simpl1 1064 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
50 simprll 802 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> x = ( y ` G ) )
51 simprlr 803 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> y e. E )
522, 5, 6, 35lhpocnel2 35305 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
54 simpl3l 1116 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
552, 5, 6, 36, 38ltrniotacl 35867 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> G e. T )
5649, 53, 54, 55syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> G e. T )
576, 36, 37tendocl 36055 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ y e. E /\ G e. T ) -> ( y ` G ) e. T )
5849, 51, 56, 57syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> ( y ` G ) e. T )
5950, 58eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> x e. T )
60 simprll 802 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) -> z e. T )
6160adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> z e. T )
62 simprrr 805 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> w = Z )
631, 6, 36, 37, 44tendo0cl 36078 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Z e. E )
6449, 63syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> Z e. E )
6562, 64eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> w e. E )
66 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- (Scalar ` U ) = (Scalar ` U )
67 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` (Scalar ` U ) ) = ( +g ` (Scalar ` U ) )
686, 36, 37, 10, 66, 32, 67dvhopvadd 36382 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( x e. T /\ y e. E ) /\ ( z e. T /\ w e. E ) ) -> ( <. x , y >. .+ <. z , w >. ) = <. ( x o. z ) , ( y ( +g ` (Scalar ` U ) ) w ) >. )
6949, 59, 51, 61, 65, 68syl122anc 1335 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> ( <. x , y >. .+ <. z , w >. ) = <. ( x o. z ) , ( y ( +g ` (Scalar ` U ) ) w ) >. )
70 dihopelvalcp.o . . . . . . . . . . . . . 14 |- O = ( a e. E , b e. E |-> ( h e. T |-> ( ( a ` h ) o. ( b ` h ) ) ) )
716, 36, 37, 10, 66, 70, 67dvhfplusr 36373 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( +g ` (Scalar ` U ) ) = O )
7249, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> ( +g ` (Scalar ` U ) ) = O )
7372oveqd 6667 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> ( y ( +g ` (Scalar ` U ) ) w ) = ( y O w ) )
7473opeq2d 4409 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> <. ( x o. z ) , ( y ( +g ` (Scalar ` U ) ) w ) >. = <. ( x o. z ) , ( y O w ) >. )
7569, 74eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> ( <. x , y >. .+ <. z , w >. ) = <. ( x o. z ) , ( y O w ) >. )
7675eqeq2d 2632 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> ( <. F , S >. = ( <. x , y >. .+ <. z , w >. ) <-> <. F , S >. = <. ( x o. z ) , ( y O w ) >. ) )
77 dihopelvalcp.f . . . . . . . . . 10 |- F e. _V
78 dihopelvalcp.s . . . . . . . . . 10 |- S e. _V
7977, 78opth 4945 . . . . . . . . 9 |- ( <. F , S >. = <. ( x o. z ) , ( y O w ) >. <-> ( F = ( x o. z ) /\ S = ( y O w ) ) )
8062oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> ( y O w ) = ( y O Z ) )
811, 6, 36, 37, 44, 70tendo0plr 36080 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ y e. E ) -> ( y O Z ) = y )
8249, 51, 81syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> ( y O Z ) = y )
8380, 82eqtrd 2656 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> ( y O w ) = y )
8483eqeq2d 2632 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> ( S = ( y O w ) <-> S = y ) )
8584anbi2d 740 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> ( ( F = ( x o. z ) /\ S = ( y O w ) ) <-> ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) )
8679, 85syl5bb 272 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> ( <. F , S >. = <. ( x o. z ) , ( y O w ) >. <-> ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) )
8776, 86bitrd 268 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) ) -> ( <. F , S >. = ( <. x , y >. .+ <. z , w >. ) <-> ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) )
8887pm5.32da 673 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ <. F , S >. = ( <. x , y >. .+ <. z , w >. ) ) <-> ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) )
89 simplll 798 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) -> x = ( y ` G ) )
9089adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> x = ( y ` G ) )
91 simprrr 805 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> S = y )
9291fveq1d 6193 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( S ` G ) = ( y ` G ) )
9390, 92eqtr4d 2659 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> x = ( S ` G ) )
9491eqcomd 2628 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> y = S )
95 coass 5654 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' ( S ` G ) o. ( S ` G ) ) o. z ) = ( `' ( S ` G ) o. ( ( S ` G ) o. z ) )
96 simpl1 1064 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
97 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) -> y e. E )
9897adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> y e. E )
9991, 98eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> S e. E )
10056adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> G e. T )
1016, 36, 37tendocl 36055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ G e. T ) -> ( S ` G ) e. T )
10296, 99, 100, 101syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( S ` G ) e. T )
1031, 6, 36ltrn1o 35410 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S ` G ) e. T ) -> ( S ` G ) : B -1-1-onto-> B )
10496, 102, 103syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( S ` G ) : B -1-1-onto-> B )
105 f1ococnv1 6165 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ` G ) : B -1-1-onto-> B -> ( `' ( S ` G ) o. ( S ` G ) ) = ( _I |` B ) )
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( `' ( S ` G ) o. ( S ` G ) ) = ( _I |` B ) )
107106coeq1d 5283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( ( `' ( S ` G ) o. ( S ` G ) ) o. z ) = ( ( _I |` B ) o. z ) )
10860ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> z e. T )
1091, 6, 36ltrn1o 35410 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ z e. T ) -> z : B -1-1-onto-> B )
11096, 108, 109syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> z : B -1-1-onto-> B )
111 f1of 6137 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z : B -1-1-onto-> B -> z : B --> B )
112 fcoi2 6079 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z : B --> B -> ( ( _I |` B ) o. z ) = z )
113110, 111, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( ( _I |` B ) o. z ) = z )
114107, 113eqtr2d 2657 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> z = ( ( `' ( S ` G ) o. ( S ` G ) ) o. z ) )
115 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> F = ( x o. z ) )
11693coeq1d 5283 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( x o. z ) = ( ( S ` G ) o. z ) )
117115, 116eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> F = ( ( S ` G ) o. z ) )
118117coeq1d 5283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( F o. `' ( S ` G ) ) = ( ( ( S ` G ) o. z ) o. `' ( S ` G ) ) )
1196, 36ltrncnv 35432 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S ` G ) e. T ) -> `' ( S ` G ) e. T )
12096, 102, 119syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> `' ( S ` G ) e. T )
1216, 36ltrnco 36007 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S ` G ) e. T /\ z e. T ) -> ( ( S ` G ) o. z ) e. T )
12296, 102, 108, 121syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( ( S ` G ) o. z ) e. T )
1236, 36ltrncom 36026 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ `' ( S ` G ) e. T /\ ( ( S ` G ) o. z ) e. T ) -> ( `' ( S ` G ) o. ( ( S ` G ) o. z ) ) = ( ( ( S ` G ) o. z ) o. `' ( S ` G ) ) )
12496, 120, 122, 123syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( `' ( S ` G ) o. ( ( S ` G ) o. z ) ) = ( ( ( S ` G ) o. z ) o. `' ( S ` G ) ) )
125118, 124eqtr4d 2659 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( F o. `' ( S ` G ) ) = ( `' ( S ` G ) o. ( ( S ` G ) o. z ) ) )
12695, 114, 1253eqtr4a 2682 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> z = ( F o. `' ( S ` G ) ) )
127 simplrr 801 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) -> w = Z )
128127adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> w = Z )
129126, 128jca 554 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) )
13093, 94, 129jca31 557 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) )
131130ex 450 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) -> ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) )
132131pm4.71rd 667 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) <-> ( ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) ) )
13388, 132bitrd 268 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ <. F , S >. = ( <. x , y >. .+ <. z , w >. ) ) <-> ( ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) ) )
134 simprrl 804 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> F = ( x o. z ) )
135 simpll1 1100 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13689adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> x = ( y ` G ) )
13797adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> y e. E )
138135, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
139 simpl3l 1116 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
140139adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
141135, 138, 140, 55syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> G e. T )
142135, 137, 141, 57syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( y ` G ) e. T )
143136, 142eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> x e. T )
14460ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> z e. T )
1456, 36ltrnco 36007 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ x e. T /\ z e. T ) -> ( x o. z ) e. T )
146135, 143, 144, 145syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( x o. z ) e. T )
147134, 146eqeltrd 2701 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> F e. T )
148 simpl1l 1112 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) -> K e. HL )
149148adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> K e. HL )
150149, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> K e. Lat )
1511, 6, 36, 43trlcl 35451 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ z e. T ) -> ( R ` z ) e. B )
152135, 144, 151syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( R ` z ) e. B )
153 simpl2l 1114 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) -> X e. B )
154153adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> X e. B )
155 simpl1r 1113 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) -> W e. H )
156155adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> W e. H )
157156, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> W e. B )
158150, 154, 157, 26syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( X ./\ W ) e. B )
159 simprlr 803 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) -> ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) )
160159ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) )
1611, 2, 4latmle1 17076 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) .<_ X )
162150, 154, 157, 161syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( X ./\ W ) .<_ X )
1631, 2, 150, 152, 158, 154, 160, 162lattrd 17058 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( R ` z ) .<_ X )
164147, 137, 163jca31 557 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) -> ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) )
165 simprll 802 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) -> x = ( S ` G ) )
166165adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> x = ( S ` G ) )
167 simprlr 803 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) -> y = S )
168167adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> y = S )
169168fveq1d 6193 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( y ` G ) = ( S ` G ) )
170166, 169eqtr4d 2659 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> x = ( y ` G ) )
171 simprlr 803 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> y e. E )
172170, 171jca 554 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) )
173 simprrl 804 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) -> z = ( F o. `' ( S ` G ) ) )
174173adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> z = ( F o. `' ( S ` G ) ) )
175 simpll1 1100 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
176 simprll 802 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> F e. T )
177168, 171eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> S e. E )
178175, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
179139adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
180175, 178, 179, 55syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> G e. T )
181175, 177, 180, 101syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( S ` G ) e. T )
182175, 181, 119syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> `' ( S ` G ) e. T )
1836, 36ltrnco 36007 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ `' ( S ` G ) e. T ) -> ( F o. `' ( S ` G ) ) e. T )
184175, 176, 182, 183syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( F o. `' ( S ` G ) ) e. T )
185174, 184eqeltrd 2701 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> z e. T )
186 simprr 796 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( R ` z ) .<_ X )
1872, 6, 36, 43trlle 35471 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ z e. T ) -> ( R ` z ) .<_ W )
188175, 185, 187syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( R ` z ) .<_ W )
189148adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> K e. HL )
190189, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> K e. Lat )
191175, 185, 151syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( R ` z ) e. B )
192153adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> X e. B )
193155adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> W e. H )
194193, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> W e. B )
1951, 2, 4latlem12 17078 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Lat /\ ( ( R ` z ) e. B /\ X e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( ( R ` z ) .<_ X /\ ( R ` z ) .<_ W ) <-> ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) )
196190, 191, 192, 194, 195syl13anc 1328 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( ( ( R ` z ) .<_ X /\ ( R ` z ) .<_ W ) <-> ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) )
197186, 188, 196mpbi2and 956 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) )
198 simprrr 805 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) -> w = Z )
199198adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> w = Z )
200185, 197, 199jca31 557 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) )
201175, 181, 103syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( S ` G ) : B -1-1-onto-> B )
202201, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( `' ( S ` G ) o. ( S ` G ) ) = ( _I |` B ) )
203202coeq2d 5284 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( F o. ( `' ( S ` G ) o. ( S ` G ) ) ) = ( F o. ( _I |` B ) ) )
2041, 6, 36ltrn1o 35410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : B -1-1-onto-> B )
205175, 176, 204syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )
206 f1of 6137 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : B -1-1-onto-> B -> F : B --> B )
207 fcoi1 6078 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : B --> B -> ( F o. ( _I |` B ) ) = F )
208205, 206, 2073syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( F o. ( _I |` B ) ) = F )
209203, 208eqtr2d 2657 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> F = ( F o. ( `' ( S ` G ) o. ( S ` G ) ) ) )
210 coass 5654 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F o. `' ( S ` G ) ) o. ( S ` G ) ) = ( F o. ( `' ( S ` G ) o. ( S ` G ) ) )
211209, 210syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> F = ( ( F o. `' ( S ` G ) ) o. ( S ` G ) ) )
2126, 36ltrncom 36026 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S ` G ) e. T /\ ( F o. `' ( S ` G ) ) e. T ) -> ( ( S ` G ) o. ( F o. `' ( S ` G ) ) ) = ( ( F o. `' ( S ` G ) ) o. ( S ` G ) ) )
213175, 181, 184, 212syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( ( S ` G ) o. ( F o. `' ( S ` G ) ) ) = ( ( F o. `' ( S ` G ) ) o. ( S ` G ) ) )
214211, 213eqtr4d 2659 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> F = ( ( S ` G ) o. ( F o. `' ( S ` G ) ) ) )
215166, 174coeq12d 5286 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( x o. z ) = ( ( S ` G ) o. ( F o. `' ( S ` G ) ) ) )
216214, 215eqtr4d 2659 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> F = ( x o. z ) )
217168eqcomd 2628 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> S = y )
218216, 217jca 554 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) )
219172, 200, 218jca31 557 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) -> ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) )
220164, 219impbida 877 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) /\ ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) ) -> ( ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) <-> ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) )
221220pm5.32da 673 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( ( ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) <-> ( ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) ) )
222 df-3an 1039 . . . . . 6 |- ( ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) <-> ( ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) )
223221, 222syl6bbr 278 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( ( ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( ( ( x = ( y ` G ) /\ y e. E ) /\ ( ( z e. T /\ ( R ` z ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ w = Z ) ) /\ ( F = ( x o. z ) /\ S = y ) ) ) <-> ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) ) )
22448, 133, 2233bitrd 294 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( ( ( <. x , y >. e. ( C ` Q ) /\ <. z , w >. e. ( N ` ( X ./\ W ) ) ) /\ <. F , S >. = ( <. x , y >. .+ <. z , w >. ) ) <-> ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) ) )
2252244exbidv 1854 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( E. x E. y E. z E. w ( ( <. x , y >. e. ( C ` Q ) /\ <. z , w >. e. ( N ` ( X ./\ W ) ) ) /\ <. F , S >. = ( <. x , y >. .+ <. z , w >. ) ) <-> E. x E. y E. z E. w ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) ) )
226 fvex 6201 . . . 4 |- ( S ` G ) e. _V
227226cnvex 7113 . . . . 5 |- `' ( S ` G ) e. _V
22877, 227coex 7118 . . . 4 |- ( F o. `' ( S ` G ) ) e. _V
229 fvex 6201 . . . . . . 7 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) e. _V
23036, 229eqeltri 2697 . . . . . 6 |- T e. _V
231230mptex 6486 . . . . 5 |- ( h e. T |-> ( _I |` B ) ) e. _V
23244, 231eqeltri 2697 . . . 4 |- Z e. _V
233 biidd 252 . . . 4 |- ( x = ( S ` G ) -> ( ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) <-> ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) )
234 eleq1 2689 . . . . . 6 |- ( y = S -> ( y e. E <-> S e. E ) )
235234anbi2d 740 . . . . 5 |- ( y = S -> ( ( F e. T /\ y e. E ) <-> ( F e. T /\ S e. E ) ) )
236235anbi1d 741 . . . 4 |- ( y = S -> ( ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) <-> ( ( F e. T /\ S e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) )
237 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) -> ( R ` z ) = ( R ` ( F o. `' ( S ` G ) ) ) )
238237breq1d 4663 . . . . 5 |- ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) -> ( ( R ` z ) .<_ X <-> ( R ` ( F o. `' ( S ` G ) ) ) .<_ X ) )
239238anbi2d 740 . . . 4 |- ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) -> ( ( ( F e. T /\ S e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) <-> ( ( F e. T /\ S e. E ) /\ ( R ` ( F o. `' ( S ` G ) ) ) .<_ X ) ) )
240 biidd 252 . . . 4 |- ( w = Z -> ( ( ( F e. T /\ S e. E ) /\ ( R ` ( F o. `' ( S ` G ) ) ) .<_ X ) <-> ( ( F e. T /\ S e. E ) /\ ( R ` ( F o. `' ( S ` G ) ) ) .<_ X ) ) )
241226, 78, 228, 232, 233, 236, 239, 240ceqsex4v 3247 . . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( x = ( S ` G ) /\ y = S ) /\ ( z = ( F o. `' ( S ` G ) ) /\ w = Z ) /\ ( ( F e. T /\ y e. E ) /\ ( R ` z ) .<_ X ) ) <-> ( ( F e. T /\ S e. E ) /\ ( R ` ( F o. `' ( S ` G ) ) ) .<_ X ) )
242225, 241syl6bb 276 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( E. x E. y E. z E. w ( ( <. x , y >. e. ( C ` Q ) /\ <. z , w >. e. ( N ` ( X ./\ W ) ) ) /\ <. F , S >. = ( <. x , y >. .+ <. z , w >. ) ) <-> ( ( F e. T /\ S e. E ) /\ ( R ` ( F o. `' ( S ` G ) ) ) .<_ X ) ) )
24313, 34, 2423bitrd 294 1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( <. F , S >. e. ( I ` X ) <-> ( ( F e. T /\ S e. E ) /\ ( R ` ( F o. `' ( S ` G ) ) ) .<_ X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   lecple 15948   occoc 15949   joincjn 16944   meetcmee 16945   Latclat 17045   LSSumclsm 18049   LSubSpclss 18932   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   trLctrl 35445   TEndoctendo 36040   DVecHcdvh 36367   DIsoBcdib 36427   DIsoCcdic 36461   DIsoHcdih 36517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518
This theorem is referenced by:  dihopelvalc  36538
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