Theorem trcl 8604

Description: For any set A, show the properties of its transitive closure C. Similar to Theorem 9.1 of [TakeutiZaring] p. 73 except that we show an explicit expression for the transitive closure rather than just its existence. See tz9.1 8605 for an abbreviated version showing existence. (Contributed by NM, 14-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
trcl.1	|- A e. _V
trcl.2	|- F = ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om )
trcl.3	|- C = U_ y e. om ( F ` y )

Assertion

Ref	Expression
trcl	|- ( A C_ C /\ Tr C /\ A. x ( ( A C_ x /\ Tr x ) -> C C_ x ) )

Distinct variable groups:   x, z   x, y, A   x, F, y

Allowed substitution hints:   A( z)   C( x, y, z)   F( z)

Proof of Theorem trcl

Dummy variables v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7085	. . . . 5 |- (/) e. om
2		trcl.2	. . . . . . . 8 |- F = ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om )
3	2	fveq1i 6192	. . . . . . 7 |- ( F ` (/) ) = ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` (/) )
4		trcl.1	. . . . . . . 8 |- A e. _V
5		fr0g 7531	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` (/) ) = A )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` (/) ) = A
7	3, 6	eqtr2i 2645	. . . . . 6 |- A = ( F ` (/) )
8	7	eqimssi 3659	. . . . 5 |- A C_ ( F ` (/) )
9		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> ( F ` y ) = ( F ` (/) ) )
10	9	sseq2d 3633	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( A C_ ( F ` y ) <-> A C_ ( F ` (/) ) ) )
11	10	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( (/) e. om /\ A C_ ( F ` (/) ) ) -> E. y e. om A C_ ( F ` y ) )
12	1, 8, 11	mp2an 708	. . . 4 |- E. y e. om A C_ ( F ` y )
13		ssiun 4562	. . . 4 |- ( E. y e. om A C_ ( F ` y ) -> A C_ U_ y e. om ( F ` y ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 |- A C_ U_ y e. om ( F ` y )
15		trcl.3	. . 3 |- C = U_ y e. om ( F ` y )
16	14, 15	sseqtr4i 3638	. 2 |- A C_ C
17		dftr2 4754	. . . 4 |- ( Tr U_ y e. om ( F ` y ) <-> A. v A. u ( ( v e. u /\ u e. U_ y e. om ( F ` y ) ) -> v e. U_ y e. om ( F ` y ) ) )
18		eliun 4524	. . . . . . . . 9 |- ( u e. U_ y e. om ( F ` y ) <-> E. y e. om u e. ( F ` y ) )
19	18	anbi2i 730	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. u /\ u e. U_ y e. om ( F ` y ) ) <-> ( v e. u /\ E. y e. om u e. ( F ` y ) ) )
20		r19.42v 3092	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. om ( v e. u /\ u e. ( F ` y ) ) <-> ( v e. u /\ E. y e. om u e. ( F ` y ) ) )
21	19, 20	bitr4i 267	. . . . . . 7 |- ( ( v e. u /\ u e. U_ y e. om ( F ` y ) ) <-> E. y e. om ( v e. u /\ u e. ( F ` y ) ) )
22		elunii 4441	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. u /\ u e. ( F ` y ) ) -> v e. U. ( F ` y ) )
23		ssun2 3777	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( F ` y ) C_ ( ( F ` y ) u. U. ( F ` y ) )
24		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F ` y ) e. _V
25	24	uniex 6953	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( F ` y ) e. _V
26	24, 25	unex 6956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` y ) u. U. ( F ` y ) ) e. _V
27		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> x = z )
28		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> U. x = U. z )
29	27, 28	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( x u. U. x ) = ( z u. U. z ) )
30		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( F ` y ) -> x = ( F ` y ) )
31		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( F ` y ) -> U. x = U. ( F ` y ) )
32	30, 31	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( F ` y ) -> ( x u. U. x ) = ( ( F ` y ) u. U. ( F ` y ) ) )
33	2, 29, 32	frsucmpt2 7535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( ( F ` y ) u. U. ( F ` y ) ) e. _V ) -> ( F ` suc y ) = ( ( F ` y ) u. U. ( F ` y ) ) )
34	26, 33	mpan2 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( F ` suc y ) = ( ( F ` y ) u. U. ( F ` y ) ) )
35	23, 34	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> U. ( F ` y ) C_ ( F ` suc y ) )
36	35	sseld 3602	. . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> ( v e. U. ( F ` y ) -> v e. ( F ` suc y ) ) )
37	22, 36	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( ( v e. u /\ u e. ( F ` y ) ) -> v e. ( F ` suc y ) ) )
38	37	reximia 3009	. . . . . . 7 |- ( E. y e. om ( v e. u /\ u e. ( F ` y ) ) -> E. y e. om v e. ( F ` suc y ) )
39	21, 38	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( ( v e. u /\ u e. U_ y e. om ( F ` y ) ) -> E. y e. om v e. ( F ` suc y ) )
40		peano2 7086	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> suc y e. om )
41		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = suc y -> ( F ` u ) = ( F ` suc y ) )
42	41	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = suc y -> ( v e. ( F ` u ) <-> v e. ( F ` suc y ) ) )
43	42	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( suc y e. om /\ v e. ( F ` suc y ) ) -> E. u e. om v e. ( F ` u ) )
44	43	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( suc y e. om -> ( v e. ( F ` suc y ) -> E. u e. om v e. ( F ` u ) ) )
45	40, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> ( v e. ( F ` suc y ) -> E. u e. om v e. ( F ` u ) ) )
46	45	rexlimiv 3027	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. om v e. ( F ` suc y ) -> E. u e. om v e. ( F ` u ) )
47		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = u -> ( F ` y ) = ( F ` u ) )
48	47	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( y = u -> ( v e. ( F ` y ) <-> v e. ( F ` u ) ) )
49	48	cbvrexv 3172	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. om v e. ( F ` y ) <-> E. u e. om v e. ( F ` u ) )
50	46, 49	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( E. y e. om v e. ( F ` suc y ) -> E. y e. om v e. ( F ` y ) )
51		eliun 4524	. . . . . . 7 |- ( v e. U_ y e. om ( F ` y ) <-> E. y e. om v e. ( F ` y ) )
52	50, 51	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( E. y e. om v e. ( F ` suc y ) -> v e. U_ y e. om ( F ` y ) )
53	39, 52	syl 17	. . . . 5 |- ( ( v e. u /\ u e. U_ y e. om ( F ` y ) ) -> v e. U_ y e. om ( F ` y ) )
54	53	ax-gen 1722	. . . 4 |- A. u ( ( v e. u /\ u e. U_ y e. om ( F ` y ) ) -> v e. U_ y e. om ( F ` y ) )
55	17, 54	mpgbir 1726	. . 3 |- Tr U_ y e. om ( F ` y )
56		treq 4758	. . . 4 |- ( C = U_ y e. om ( F ` y ) -> ( Tr C <-> Tr U_ y e. om ( F ` y ) ) )
57	15, 56	ax-mp 5	. . 3 |- ( Tr C <-> Tr U_ y e. om ( F ` y ) )
58	55, 57	mpbir 221	. 2 |- Tr C
59		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( v = (/) -> ( F ` v ) = ( F ` (/) ) )
60	59	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( v = (/) -> ( ( F ` v ) C_ x <-> ( F ` (/) ) C_ x ) )
61		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( v = y -> ( F ` v ) = ( F ` y ) )
62	61	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( v = y -> ( ( F ` v ) C_ x <-> ( F ` y ) C_ x ) )
63		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( v = suc y -> ( F ` v ) = ( F ` suc y ) )
64	63	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( v = suc y -> ( ( F ` v ) C_ x <-> ( F ` suc y ) C_ x ) )
65	3, 6	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` (/) ) = A
66	65	sseq1i 3629	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` (/) ) C_ x <-> A C_ x )
67	66	biimpri 218	. . . . . . . 8 |- ( A C_ x -> ( F ` (/) ) C_ x )
68	67	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ x /\ Tr x ) -> ( F ` (/) ) C_ x )
69		uniss 4458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` y ) C_ x -> U. ( F ` y ) C_ U. x )
70		df-tr 4753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Tr x <-> U. x C_ x )
71		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. ( F ` y ) C_ U. x -> ( U. x C_ x -> U. ( F ` y ) C_ x ) )
72	70, 71	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. ( F ` y ) C_ U. x -> ( Tr x -> U. ( F ` y ) C_ x ) )
73	69, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` y ) C_ x -> ( Tr x -> U. ( F ` y ) C_ x ) )
74	73	anc2li 580	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` y ) C_ x -> ( Tr x -> ( ( F ` y ) C_ x /\ U. ( F ` y ) C_ x ) ) )
75		unss 3787	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` y ) C_ x /\ U. ( F ` y ) C_ x ) <-> ( ( F ` y ) u. U. ( F ` y ) ) C_ x )
76	74, 75	syl6ib 241	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` y ) C_ x -> ( Tr x -> ( ( F ` y ) u. U. ( F ` y ) ) C_ x ) )
77	34	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( ( F ` suc y ) C_ x <-> ( ( F ` y ) u. U. ( F ` y ) ) C_ x ) )
78	77	biimprd 238	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( ( ( F ` y ) u. U. ( F ` y ) ) C_ x -> ( F ` suc y ) C_ x ) )
79	76, 78	syl9r 78	. . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> ( ( F ` y ) C_ x -> ( Tr x -> ( F ` suc y ) C_ x ) ) )
80	79	com23 86	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( Tr x -> ( ( F ` y ) C_ x -> ( F ` suc y ) C_ x ) ) )
81	80	adantld 483	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( ( A C_ x /\ Tr x ) -> ( ( F ` y ) C_ x -> ( F ` suc y ) C_ x ) ) )
82	60, 62, 64, 68, 81	finds2 7094	. . . . . 6 |- ( v e. om -> ( ( A C_ x /\ Tr x ) -> ( F ` v ) C_ x ) )
83	82	com12 32	. . . . 5 |- ( ( A C_ x /\ Tr x ) -> ( v e. om -> ( F ` v ) C_ x ) )
84	83	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ( A C_ x /\ Tr x ) -> A. v e. om ( F ` v ) C_ x )
85		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = v -> ( F ` y ) = ( F ` v ) )
86	85	cbviunv 4559	. . . . . . 7 |- U_ y e. om ( F ` y ) = U_ v e. om ( F ` v )
87	15, 86	eqtri 2644	. . . . . 6 |- C = U_ v e. om ( F ` v )
88	87	sseq1i 3629	. . . . 5 |- ( C C_ x <-> U_ v e. om ( F ` v ) C_ x )
89		iunss 4561	. . . . 5 |- ( U_ v e. om ( F ` v ) C_ x <-> A. v e. om ( F ` v ) C_ x )
90	88, 89	bitri 264	. . . 4 |- ( C C_ x <-> A. v e. om ( F ` v ) C_ x )
91	84, 90	sylibr 224	. . 3 |- ( ( A C_ x /\ Tr x ) -> C C_ x )
92	91	ax-gen 1722	. 2 |- A. x ( ( A C_ x /\ Tr x ) -> C C_ x )
93	16, 58, 92	3pm3.2i 1239	1 |- ( A C_ C /\ Tr C /\ A. x ( ( A C_ x /\ Tr x ) -> C C_ x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   Tr wtr 4752   |` cres 5116   suc csuc 5725   ` cfv 5888   omcom 7065   reccrdg 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506

This theorem is referenced by:  tz9.1  8605  tz9.1c  8606