Theorem ttukeylem3 9333

Description: Lemma for ttukey 9340. (Contributed by Mario Carneiro, 11-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttukeylem.1	|- ( ph -> F : ( card ` ( U. A \ B ) ) -1-1-onto-> ( U. A \ B ) )
ttukeylem.2	|- ( ph -> B e. A )
ttukeylem.3	|- ( ph -> A. x ( x e. A <-> ( ~P x i^i Fin ) C_ A ) )
ttukeylem.4	|- G = recs ( ( z e. _V |-> if ( dom z = U. dom z , if ( dom z = (/) , B , U. ran z ) , ( ( z ` U. dom z ) u. if ( ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) e. A , { ( F ` U. dom z ) } , (/) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ttukeylem3	|- ( ( ph /\ C e. On ) -> ( G ` C ) = if ( C = U. C , if ( C = (/) , B , U. ( G " C ) ) , ( ( G ` U. C ) u. if ( ( ( G ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A , { ( F ` U. C ) } , (/) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, z, C   x, G, z   ph, z   x, A, z   x, B, z   x, F, z

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem ttukeylem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttukeylem.4	. . . 4 |- G = recs ( ( z e. _V |-> if ( dom z = U. dom z , if ( dom z = (/) , B , U. ran z ) , ( ( z ` U. dom z ) u. if ( ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) e. A , { ( F ` U. dom z ) } , (/) ) ) ) ) )
2	1	tfr2 7494	. . 3 |- ( C e. On -> ( G ` C ) = ( ( z e. _V |-> if ( dom z = U. dom z , if ( dom z = (/) , B , U. ran z ) , ( ( z ` U. dom z ) u. if ( ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) e. A , { ( F ` U. dom z ) } , (/) ) ) ) ) ` ( G |` C ) ) )
3	2	adantl 482	. 2 |- ( ( ph /\ C e. On ) -> ( G ` C ) = ( ( z e. _V |-> if ( dom z = U. dom z , if ( dom z = (/) , B , U. ran z ) , ( ( z ` U. dom z ) u. if ( ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) e. A , { ( F ` U. dom z ) } , (/) ) ) ) ) ` ( G |` C ) ) )
4		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. On ) -> ( z e. _V |-> if ( dom z = U. dom z , if ( dom z = (/) , B , U. ran z ) , ( ( z ` U. dom z ) u. if ( ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) e. A , { ( F ` U. dom z ) } , (/) ) ) ) ) = ( z e. _V |-> if ( dom z = U. dom z , if ( dom z = (/) , B , U. ran z ) , ( ( z ` U. dom z ) u. if ( ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) e. A , { ( F ` U. dom z ) } , (/) ) ) ) ) )
5		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> z = ( G |` C ) )
6	5	dmeqd 5326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> dom z = dom ( G |` C ) )
7	1	tfr1 7493	. . . . . . . . 9 |- G Fn On
8		onss 6990	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. On -> C C_ On )
9	8	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> C C_ On )
10		fnssres 6004	. . . . . . . . 9 |- ( ( G Fn On /\ C C_ On ) -> ( G |` C ) Fn C )
11	7, 9, 10	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> ( G |` C ) Fn C )
12		fndm 5990	. . . . . . . 8 |- ( ( G |` C ) Fn C -> dom ( G |` C ) = C )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> dom ( G |` C ) = C )
14	6, 13	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> dom z = C )
15	14	unieqd 4446	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> U. dom z = U. C )
16	14, 15	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> ( dom z = U. dom z <-> C = U. C ) )
17	14	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> ( dom z = (/) <-> C = (/) ) )
18	5	rneqd 5353	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> ran z = ran ( G |` C ) )
19		df-ima 5127	. . . . . . . 8 |- ( G " C ) = ran ( G |` C )
20	18, 19	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> ran z = ( G " C ) )
21	20	unieqd 4446	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> U. ran z = U. ( G " C ) )
22	17, 21	ifbieq2d 4111	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> if ( dom z = (/) , B , U. ran z ) = if ( C = (/) , B , U. ( G " C ) ) )
23	5, 15	fveq12d 6197	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> ( z ` U. dom z ) = ( ( G |` C ) ` U. C ) )
24	15	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> ( F ` U. dom z ) = ( F ` U. C ) )
25	24	sneqd 4189	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> { ( F ` U. dom z ) } = { ( F ` U. C ) } )
26	23, 25	uneq12d 3768	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) = ( ( ( G |` C ) ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) )
27	26	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> ( ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) e. A <-> ( ( ( G |` C ) ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A ) )
28		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> (/) = (/) )
29	27, 25, 28	ifbieq12d 4113	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> if ( ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) e. A , { ( F ` U. dom z ) } , (/) ) = if ( ( ( ( G |` C ) ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A , { ( F ` U. C ) } , (/) ) )
30	23, 29	uneq12d 3768	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> ( ( z ` U. dom z ) u. if ( ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) e. A , { ( F ` U. dom z ) } , (/) ) ) = ( ( ( G |` C ) ` U. C ) u. if ( ( ( ( G |` C ) ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A , { ( F ` U. C ) } , (/) ) ) )
31	16, 22, 30	ifbieq12d 4113	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> if ( dom z = U. dom z , if ( dom z = (/) , B , U. ran z ) , ( ( z ` U. dom z ) u. if ( ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) e. A , { ( F ` U. dom z ) } , (/) ) ) ) = if ( C = U. C , if ( C = (/) , B , U. ( G " C ) ) , ( ( ( G |` C ) ` U. C ) u. if ( ( ( ( G |` C ) ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A , { ( F ` U. C ) } , (/) ) ) ) )
32		onuni 6993	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. On -> U. C e. On )
33	32	ad3antlr 767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> U. C e. On )
34		sucidg 5803	. . . . . . . . 9 |- ( U. C e. On -> U. C e. suc U. C )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> U. C e. suc U. C )
36		eloni 5733	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. On -> Ord C )
37	36	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> Ord C )
38		orduniorsuc 7030	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord C -> ( C = U. C \/ C = suc U. C ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> ( C = U. C \/ C = suc U. C ) )
40	39	orcanai 952	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> C = suc U. C )
41	35, 40	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> U. C e. C )
42		fvres 6207	. . . . . . 7 |- ( U. C e. C -> ( ( G |` C ) ` U. C ) = ( G ` U. C ) )
43	41, 42	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( ( G |` C ) ` U. C ) = ( G ` U. C ) )
44	43	uneq1d 3766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( ( ( G |` C ) ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) = ( ( G ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) )
45	44	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( ( ( ( G |` C ) ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A <-> ( ( G ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A ) )
46	45	ifbid 4108	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> if ( ( ( ( G |` C ) ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A , { ( F ` U. C ) } , (/) ) = if ( ( ( G ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A , { ( F ` U. C ) } , (/) ) )
47	43, 46	uneq12d 3768	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( ( ( G |` C ) ` U. C ) u. if ( ( ( ( G |` C ) ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A , { ( F ` U. C ) } , (/) ) ) = ( ( G ` U. C ) u. if ( ( ( G ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A , { ( F ` U. C ) } , (/) ) ) )
48	47	ifeq2da 4117	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> if ( C = U. C , if ( C = (/) , B , U. ( G " C ) ) , ( ( ( G |` C ) ` U. C ) u. if ( ( ( ( G |` C ) ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A , { ( F ` U. C ) } , (/) ) ) ) = if ( C = U. C , if ( C = (/) , B , U. ( G " C ) ) , ( ( G ` U. C ) u. if ( ( ( G ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A , { ( F ` U. C ) } , (/) ) ) ) )
49	31, 48	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ z = ( G |` C ) ) -> if ( dom z = U. dom z , if ( dom z = (/) , B , U. ran z ) , ( ( z ` U. dom z ) u. if ( ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) e. A , { ( F ` U. dom z ) } , (/) ) ) ) = if ( C = U. C , if ( C = (/) , B , U. ( G " C ) ) , ( ( G ` U. C ) u. if ( ( ( G ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A , { ( F ` U. C ) } , (/) ) ) ) )
50		fnfun 5988	. . . . 5 |- ( G Fn On -> Fun G )
51	7, 50	ax-mp 5	. . . 4 |- Fun G
52		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. On ) -> C e. On )
53		resfunexg 6479	. . . 4 |- ( ( Fun G /\ C e. On ) -> ( G |` C ) e. _V )
54	51, 52, 53	sylancr 695	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. On ) -> ( G |` C ) e. _V )
55		ttukeylem.2	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. A )
56		elex 3212	. . . . . 6 |- ( B e. A -> B e. _V )
57	55, 56	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> B e. _V )
58		funimaexg 5975	. . . . . . 7 |- ( ( Fun G /\ C e. On ) -> ( G " C ) e. _V )
59	51, 58	mpan 706	. . . . . 6 |- ( C e. On -> ( G " C ) e. _V )
60		uniexg 6955	. . . . . 6 |- ( ( G " C ) e. _V -> U. ( G " C ) e. _V )
61	59, 60	syl 17	. . . . 5 |- ( C e. On -> U. ( G " C ) e. _V )
62		ifcl 4130	. . . . 5 |- ( ( B e. _V /\ U. ( G " C ) e. _V ) -> if ( C = (/) , B , U. ( G " C ) ) e. _V )
63	57, 61, 62	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. On ) -> if ( C = (/) , B , U. ( G " C ) ) e. _V )
64		fvex 6201	. . . . 5 |- ( G ` U. C ) e. _V
65		snex 4908	. . . . . 6 |- { ( F ` U. C ) } e. _V
66		0ex 4790	. . . . . 6 |- (/) e. _V
67	65, 66	ifex 4156	. . . . 5 |- if ( ( ( G ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A , { ( F ` U. C ) } , (/) ) e. _V
68	64, 67	unex 6956	. . . 4 |- ( ( G ` U. C ) u. if ( ( ( G ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A , { ( F ` U. C ) } , (/) ) ) e. _V
69		ifcl 4130	. . . 4 |- ( ( if ( C = (/) , B , U. ( G " C ) ) e. _V /\ ( ( G ` U. C ) u. if ( ( ( G ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A , { ( F ` U. C ) } , (/) ) ) e. _V ) -> if ( C = U. C , if ( C = (/) , B , U. ( G " C ) ) , ( ( G ` U. C ) u. if ( ( ( G ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A , { ( F ` U. C ) } , (/) ) ) ) e. _V )
70	63, 68, 69	sylancl 694	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. On ) -> if ( C = U. C , if ( C = (/) , B , U. ( G " C ) ) , ( ( G ` U. C ) u. if ( ( ( G ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A , { ( F ` U. C ) } , (/) ) ) ) e. _V )
71	4, 49, 54, 70	fvmptd 6288	. 2 |- ( ( ph /\ C e. On ) -> ( ( z e. _V |-> if ( dom z = U. dom z , if ( dom z = (/) , B , U. ran z ) , ( ( z ` U. dom z ) u. if ( ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) e. A , { ( F ` U. dom z ) } , (/) ) ) ) ) ` ( G |` C ) ) = if ( C = U. C , if ( C = (/) , B , U. ( G " C ) ) , ( ( G ` U. C ) u. if ( ( ( G ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A , { ( F ` U. C ) } , (/) ) ) ) )
72	3, 71	eqtrd 2656	1 |- ( ( ph /\ C e. On ) -> ( G ` C ) = if ( C = U. C , if ( C = (/) , B , U. ( G " C ) ) , ( ( G ` U. C ) u. if ( ( ( G ` U. C ) u. { ( F ` U. C ) } ) e. A , { ( F ` U. C ) } , (/) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  recscrecs 7467   Fincfn 7955   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-wrecs 7407  df-recs 7468

This theorem is referenced by:  ttukeylem4  9334  ttukeylem5  9335  ttukeylem6  9336  ttukeylem7  9337