Theorem ttukeylem5 9335

Description: Lemma for ttukey 9340. The G function forms a (transfinitely long) chain of inclusions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttukeylem.1	|- ( ph -> F : ( card ` ( U. A \ B ) ) -1-1-onto-> ( U. A \ B ) )
ttukeylem.2	|- ( ph -> B e. A )
ttukeylem.3	|- ( ph -> A. x ( x e. A <-> ( ~P x i^i Fin ) C_ A ) )
ttukeylem.4	|- G = recs ( ( z e. _V |-> if ( dom z = U. dom z , if ( dom z = (/) , B , U. ran z ) , ( ( z ` U. dom z ) u. if ( ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) e. A , { ( F ` U. dom z ) } , (/) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ttukeylem5	|- ( ( ph /\ ( C e. On /\ D e. On /\ C C_ D ) ) -> ( G ` C ) C_ ( G ` D ) )

Distinct variable groups:   x, z, C   x, D   x, G, z   ph, z   x, A, z   x, B, z   x, F, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   D( z)

Proof of Theorem ttukeylem5

Dummy variables a y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3627	. . . . . 6 |- ( y = a -> ( C C_ y <-> C C_ a ) )
2		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( y = a -> ( G ` y ) = ( G ` a ) )
3	2	sseq2d 3633	. . . . . 6 |- ( y = a -> ( ( G ` C ) C_ ( G ` y ) <-> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) )
4	1, 3	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( y = a -> ( ( C C_ y -> ( G ` C ) C_ ( G ` y ) ) <-> ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) ) )
5	4	imbi2d 330	. . . 4 |- ( y = a -> ( ( ( ph /\ C e. On ) -> ( C C_ y -> ( G ` C ) C_ ( G ` y ) ) ) <-> ( ( ph /\ C e. On ) -> ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) ) ) )
6		sseq2 3627	. . . . . 6 |- ( y = D -> ( C C_ y <-> C C_ D ) )
7		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( y = D -> ( G ` y ) = ( G ` D ) )
8	7	sseq2d 3633	. . . . . 6 |- ( y = D -> ( ( G ` C ) C_ ( G ` y ) <-> ( G ` C ) C_ ( G ` D ) ) )
9	6, 8	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( y = D -> ( ( C C_ y -> ( G ` C ) C_ ( G ` y ) ) <-> ( C C_ D -> ( G ` C ) C_ ( G ` D ) ) ) )
10	9	imbi2d 330	. . . 4 |- ( y = D -> ( ( ( ph /\ C e. On ) -> ( C C_ y -> ( G ` C ) C_ ( G ` y ) ) ) <-> ( ( ph /\ C e. On ) -> ( C C_ D -> ( G ` C ) C_ ( G ` D ) ) ) ) )
11		r19.21v 2960	. . . . 5 |- ( A. a e. y ( ( ph /\ C e. On ) -> ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) ) <-> ( ( ph /\ C e. On ) -> A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) ) )
12		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) ) -> C e. On )
13		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) ) -> y e. On )
14		onsseleq 5765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C C_ y <-> ( C e. y \/ C = y ) ) )
15	12, 13, 14	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) ) -> ( C C_ y <-> ( C e. y \/ C = y ) ) )
16		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( if ( y = (/) , B , U. ( G " y ) ) = if ( y = U. y , if ( y = (/) , B , U. ( G " y ) ) , ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) ) -> ( ( G ` C ) C_ if ( y = (/) , B , U. ( G " y ) ) <-> ( G ` C ) C_ if ( y = U. y , if ( y = (/) , B , U. ( G " y ) ) , ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) ) ) )
17		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) = if ( y = U. y , if ( y = (/) , B , U. ( G " y ) ) , ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) ) -> ( ( G ` C ) C_ ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) <-> ( G ` C ) C_ if ( y = U. y , if ( y = (/) , B , U. ( G " y ) ) , ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) ) ) )
18		ttukeylem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- G = recs ( ( z e. _V |-> if ( dom z = U. dom z , if ( dom z = (/) , B , U. ran z ) , ( ( z ` U. dom z ) u. if ( ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) e. A , { ( F ` U. dom z ) } , (/) ) ) ) ) )
19	18	tfr1 7493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- G Fn On
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) -> G Fn On )
21		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) -> y e. On )
22		onss 6990	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. On -> y C_ On )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) -> y C_ On )
24		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) -> C e. y )
25		fnfvima 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G Fn On /\ y C_ On /\ C e. y ) -> ( G ` C ) e. ( G " y ) )
26	20, 23, 24, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) -> ( G ` C ) e. ( G " y ) )
27		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` C ) e. ( G " y ) -> ( G ` C ) C_ U. ( G " y ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) -> ( G ` C ) C_ U. ( G " y ) )
29		n0i 3920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( C e. y -> -. y = (/) )
30		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. y = (/) -> if ( y = (/) , B , U. ( G " y ) ) = U. ( G " y ) )
31	24, 29, 30	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) -> if ( y = (/) , B , U. ( G " y ) ) = U. ( G " y ) )
32	28, 31	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) -> ( G ` C ) C_ if ( y = (/) , B , U. ( G " y ) ) )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) /\ y = U. y ) -> ( G ` C ) C_ if ( y = (/) , B , U. ( G " y ) ) )
34		vuniex 6954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. y e. _V
35	34	sucid 5804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. y e. suc U. y
36		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. On -> Ord y )
37		orduniorsuc 7030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Ord y -> ( y = U. y \/ y = suc U. y ) )
38	21, 36, 37	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) -> ( y = U. y \/ y = suc U. y ) )
39	38	orcanai 952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) /\ -. y = U. y ) -> y = suc U. y )
40	35, 39	syl5eleqr 2708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) /\ -. y = U. y ) -> U. y e. y )
41		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) /\ -. y = U. y ) -> A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) )
42	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) /\ -. y = U. y ) -> C e. y )
43		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( C e. y -> C C_ U. y )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) /\ -. y = U. y ) -> C C_ U. y )
45		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = U. y -> ( C C_ a <-> C C_ U. y ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = U. y -> ( G ` a ) = ( G ` U. y ) )
47	46	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = U. y -> ( ( G ` C ) C_ ( G ` a ) <-> ( G ` C ) C_ ( G ` U. y ) ) )
48	45, 47	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = U. y -> ( ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) <-> ( C C_ U. y -> ( G ` C ) C_ ( G ` U. y ) ) ) )
49	48	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. y e. y -> ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) -> ( C C_ U. y -> ( G ` C ) C_ ( G ` U. y ) ) ) )
50	40, 41, 44, 49	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) /\ -. y = U. y ) -> ( G ` C ) C_ ( G ` U. y ) )
51		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G ` U. y ) C_ ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) )
52	50, 51	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) /\ -. y = U. y ) -> ( G ` C ) C_ ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) )
53	16, 17, 33, 52	ifbothda 4123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) -> ( G ` C ) C_ if ( y = U. y , if ( y = (/) , B , U. ( G " y ) ) , ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) ) )
54		simplll 798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) -> ph )
55		ttukeylem.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : ( card ` ( U. A \ B ) ) -1-1-onto-> ( U. A \ B ) )
56		ttukeylem.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. A )
57		ttukeylem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x ( x e. A <-> ( ~P x i^i Fin ) C_ A ) )
58	55, 56, 57, 18	ttukeylem3 9333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. On ) -> ( G ` y ) = if ( y = U. y , if ( y = (/) , B , U. ( G " y ) ) , ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) ) )
59	54, 21, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) -> ( G ` y ) = if ( y = U. y , if ( y = (/) , B , U. ( G " y ) ) , ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) ) )
60	53, 59	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) /\ C e. y ) ) -> ( G ` C ) C_ ( G ` y ) )
61	60	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) ) -> ( C e. y -> ( G ` C ) C_ ( G ` y ) ) )
62		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C = y -> ( G ` C ) = ( G ` y ) )
63		eqimss 3657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` C ) = ( G ` y ) -> ( G ` C ) C_ ( G ` y ) )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = y -> ( G ` C ) C_ ( G ` y ) )
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) ) -> ( C = y -> ( G ` C ) C_ ( G ` y ) ) )
66	61, 65	jaod 395	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) ) -> ( ( C e. y \/ C = y ) -> ( G ` C ) C_ ( G ` y ) ) )
67	15, 66	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) /\ A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) ) -> ( C C_ y -> ( G ` C ) C_ ( G ` y ) ) )
68	67	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. On ) /\ y e. On ) -> ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) -> ( C C_ y -> ( G ` C ) C_ ( G ` y ) ) ) )
69	68	expcom 451	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( ( ph /\ C e. On ) -> ( A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) -> ( C C_ y -> ( G ` C ) C_ ( G ` y ) ) ) ) )
70	69	a2d 29	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( ( ( ph /\ C e. On ) -> A. a e. y ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) ) -> ( ( ph /\ C e. On ) -> ( C C_ y -> ( G ` C ) C_ ( G ` y ) ) ) ) )
71	11, 70	syl5bi 232	. . . 4 |- ( y e. On -> ( A. a e. y ( ( ph /\ C e. On ) -> ( C C_ a -> ( G ` C ) C_ ( G ` a ) ) ) -> ( ( ph /\ C e. On ) -> ( C C_ y -> ( G ` C ) C_ ( G ` y ) ) ) ) )
72	5, 10, 71	tfis3 7057	. . 3 |- ( D e. On -> ( ( ph /\ C e. On ) -> ( C C_ D -> ( G ` C ) C_ ( G ` D ) ) ) )
73	72	expdcom 455	. 2 |- ( ph -> ( C e. On -> ( D e. On -> ( C C_ D -> ( G ` C ) C_ ( G ` D ) ) ) ) )
74	73	3imp2 1282	1 |- ( ( ph /\ ( C e. On /\ D e. On /\ C C_ D ) ) -> ( G ` C ) C_ ( G ` D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  recscrecs 7467   Fincfn 7955   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-wrecs 7407  df-recs 7468

This theorem is referenced by:  ttukeylem6  9336  ttukeylem7  9337