Theorem ttukeylem7 9337

Description: Lemma for ttukey 9340. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttukeylem.1	|- ( ph -> F : ( card ` ( U. A \ B ) ) -1-1-onto-> ( U. A \ B ) )
ttukeylem.2	|- ( ph -> B e. A )
ttukeylem.3	|- ( ph -> A. x ( x e. A <-> ( ~P x i^i Fin ) C_ A ) )
ttukeylem.4	|- G = recs ( ( z e. _V |-> if ( dom z = U. dom z , if ( dom z = (/) , B , U. ran z ) , ( ( z ` U. dom z ) u. if ( ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) e. A , { ( F ` U. dom z ) } , (/) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ttukeylem7	|- ( ph -> E. x e. A ( B C_ x /\ A. y e. A -. x C. y ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, G   ph, y, z   x, A, y, z   x, B, y, z   x, F, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   F( y)

Proof of Theorem ttukeylem7

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6201	. . . 4 |- ( card ` ( U. A \ B ) ) e. _V
2	1	sucid 5804	. . 3 |- ( card ` ( U. A \ B ) ) e. suc ( card ` ( U. A \ B ) )
3		ttukeylem.1	. . . 4 |- ( ph -> F : ( card ` ( U. A \ B ) ) -1-1-onto-> ( U. A \ B ) )
4		ttukeylem.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. A )
5		ttukeylem.3	. . . 4 |- ( ph -> A. x ( x e. A <-> ( ~P x i^i Fin ) C_ A ) )
6		ttukeylem.4	. . . 4 |- G = recs ( ( z e. _V |-> if ( dom z = U. dom z , if ( dom z = (/) , B , U. ran z ) , ( ( z ` U. dom z ) u. if ( ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) e. A , { ( F ` U. dom z ) } , (/) ) ) ) ) )
7	3, 4, 5, 6	ttukeylem6 9336	. . 3 |- ( ( ph /\ ( card ` ( U. A \ B ) ) e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) ) -> ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) e. A )
8	2, 7	mpan2 707	. 2 |- ( ph -> ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) e. A )
9	3, 4, 5, 6	ttukeylem4 9334	. . 3 |- ( ph -> ( G ` (/) ) = B )
10		0elon 5778	. . . . 5 |- (/) e. On
11		cardon 8770	. . . . 5 |- ( card ` ( U. A \ B ) ) e. On
12		0ss 3972	. . . . 5 |- (/) C_ ( card ` ( U. A \ B ) )
13	10, 11, 12	3pm3.2i 1239	. . . 4 |- ( (/) e. On /\ ( card ` ( U. A \ B ) ) e. On /\ (/) C_ ( card ` ( U. A \ B ) ) )
14	3, 4, 5, 6	ttukeylem5 9335	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( (/) e. On /\ ( card ` ( U. A \ B ) ) e. On /\ (/) C_ ( card ` ( U. A \ B ) ) ) ) -> ( G ` (/) ) C_ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) )
15	13, 14	mpan2 707	. . 3 |- ( ph -> ( G ` (/) ) C_ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) )
16	9, 15	eqsstr3d 3640	. 2 |- ( ph -> B C_ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) )
17		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) ) -> ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y )
18		ssun1 3776	. . . . . . . 8 |- y C_ ( y u. B )
19		undif1 4043	. . . . . . . 8 |- ( ( y \ B ) u. B ) = ( y u. B )
20	18, 19	sseqtr4i 3638	. . . . . . 7 |- y C_ ( ( y \ B ) u. B )
21		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ph )
22		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : ( card ` ( U. A \ B ) ) -1-1-onto-> ( U. A \ B ) -> `' F : ( U. A \ B ) -1-1-onto-> ( card ` ( U. A \ B ) ) )
23		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' F : ( U. A \ B ) -1-1-onto-> ( card ` ( U. A \ B ) ) -> `' F : ( U. A \ B ) --> ( card ` ( U. A \ B ) ) )
24	3, 22, 23	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> `' F : ( U. A \ B ) --> ( card ` ( U. A \ B ) ) )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> `' F : ( U. A \ B ) --> ( card ` ( U. A \ B ) ) )
26		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. ( y \ B ) -> a e. y )
27	26	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> a e. y )
28		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> y e. A )
29		elunii 4441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. y /\ y e. A ) -> a e. U. A )
30	27, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> a e. U. A )
31		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. ( y \ B ) -> -. a e. B )
32	31	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> -. a e. B )
33	30, 32	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> a e. ( U. A \ B ) )
34	25, 33	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ( `' F ` a ) e. ( card ` ( U. A \ B ) ) )
35		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( card ` ( U. A \ B ) ) e. On /\ ( `' F ` a ) e. ( card ` ( U. A \ B ) ) ) -> ( `' F ` a ) e. On )
36	11, 34, 35	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ( `' F ` a ) e. On )
37		suceloni 7013	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F ` a ) e. On -> suc ( `' F ` a ) e. On )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> suc ( `' F ` a ) e. On )
39	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ( card ` ( U. A \ B ) ) e. On )
40	11	onordi 5832	. . . . . . . . . . . . 13 |- Ord ( card ` ( U. A \ B ) )
41		ordsucss 7018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( ( `' F ` a ) e. ( card ` ( U. A \ B ) ) -> suc ( `' F ` a ) C_ ( card ` ( U. A \ B ) ) ) )
42	40, 34, 41	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> suc ( `' F ` a ) C_ ( card ` ( U. A \ B ) ) )
43	3, 4, 5, 6	ttukeylem5 9335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( suc ( `' F ` a ) e. On /\ ( card ` ( U. A \ B ) ) e. On /\ suc ( `' F ` a ) C_ ( card ` ( U. A \ B ) ) ) ) -> ( G ` suc ( `' F ` a ) ) C_ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) )
44	21, 38, 39, 42, 43	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ( G ` suc ( `' F ` a ) ) C_ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) )
45		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } ) e. A , { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } , (/) ) C_ ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. if ( ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } ) e. A , { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } , (/) ) )
46		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( `' F ` a ) e. On -> Ord ( `' F ` a ) )
47		ordunisuc 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Ord ( `' F ` a ) -> U. suc ( `' F ` a ) = ( `' F ` a ) )
48	36, 46, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> U. suc ( `' F ` a ) = ( `' F ` a ) )
49	48	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) = ( F ` ( `' F ` a ) ) )
50	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> F : ( card ` ( U. A \ B ) ) -1-1-onto-> ( U. A \ B ) )
51		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : ( card ` ( U. A \ B ) ) -1-1-onto-> ( U. A \ B ) /\ a e. ( U. A \ B ) ) -> ( F ` ( `' F ` a ) ) = a )
52	50, 33, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` a ) ) = a )
53	49, 52	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> a = ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) )
54		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } <-> a = ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) )
55	53, 54	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> a e. { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } )
56	48	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) = ( G ` ( `' F ` a ) ) )
57		ordelss 5739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Ord ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ ( `' F ` a ) e. ( card ` ( U. A \ B ) ) ) -> ( `' F ` a ) C_ ( card ` ( U. A \ B ) ) )
58	40, 34, 57	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ( `' F ` a ) C_ ( card ` ( U. A \ B ) ) )
59	3, 4, 5, 6	ttukeylem5 9335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( `' F ` a ) e. On /\ ( card ` ( U. A \ B ) ) e. On /\ ( `' F ` a ) C_ ( card ` ( U. A \ B ) ) ) ) -> ( G ` ( `' F ` a ) ) C_ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) )
60	21, 36, 39, 58, 59	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ( G ` ( `' F ` a ) ) C_ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) )
61	56, 60	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) C_ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) )
62		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y )
63	61, 62	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) C_ y )
64	53, 27	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) e. y )
65	64	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } C_ y )
66	63, 65	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } ) C_ y )
67	3, 4, 5	ttukeylem2 9332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } ) C_ y ) ) -> ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } ) e. A )
68	21, 28, 66, 67	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } ) e. A )
69	68	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> if ( ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } ) e. A , { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } , (/) ) = { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } )
70	55, 69	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> a e. if ( ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } ) e. A , { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } , (/) ) )
71	45, 70	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> a e. ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. if ( ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } ) e. A , { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } , (/) ) ) )
72	3, 4, 5, 6	ttukeylem3 9333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ suc ( `' F ` a ) e. On ) -> ( G ` suc ( `' F ` a ) ) = if ( suc ( `' F ` a ) = U. suc ( `' F ` a ) , if ( suc ( `' F ` a ) = (/) , B , U. ( G " suc ( `' F ` a ) ) ) , ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. if ( ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } ) e. A , { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } , (/) ) ) ) )
73	38, 72	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ( G ` suc ( `' F ` a ) ) = if ( suc ( `' F ` a ) = U. suc ( `' F ` a ) , if ( suc ( `' F ` a ) = (/) , B , U. ( G " suc ( `' F ` a ) ) ) , ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. if ( ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } ) e. A , { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } , (/) ) ) ) )
74		sucidg 5803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( `' F ` a ) e. ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( `' F ` a ) e. suc ( `' F ` a ) )
75	34, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ( `' F ` a ) e. suc ( `' F ` a ) )
76		ordirr 5741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Ord ( `' F ` a ) -> -. ( `' F ` a ) e. ( `' F ` a ) )
77	36, 46, 76	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> -. ( `' F ` a ) e. ( `' F ` a ) )
78		nelne1 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( `' F ` a ) e. suc ( `' F ` a ) /\ -. ( `' F ` a ) e. ( `' F ` a ) ) -> suc ( `' F ` a ) =/= ( `' F ` a ) )
79	75, 77, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> suc ( `' F ` a ) =/= ( `' F ` a ) )
80	79, 48	neeqtrrd 2868	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> suc ( `' F ` a ) =/= U. suc ( `' F ` a ) )
81	80	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> -. suc ( `' F ` a ) = U. suc ( `' F ` a ) )
82	81	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> if ( suc ( `' F ` a ) = U. suc ( `' F ` a ) , if ( suc ( `' F ` a ) = (/) , B , U. ( G " suc ( `' F ` a ) ) ) , ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. if ( ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } ) e. A , { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } , (/) ) ) ) = ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. if ( ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } ) e. A , { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } , (/) ) ) )
83	73, 82	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> ( G ` suc ( `' F ` a ) ) = ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. if ( ( ( G ` U. suc ( `' F ` a ) ) u. { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } ) e. A , { ( F ` U. suc ( `' F ` a ) ) } , (/) ) ) )
84	71, 83	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> a e. ( G ` suc ( `' F ` a ) ) )
85	44, 84	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) /\ a e. ( y \ B ) ) ) -> a e. ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) )
86	85	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) ) -> ( a e. ( y \ B ) -> a e. ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) ) )
87	86	ssrdv 3609	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) ) -> ( y \ B ) C_ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) )
88	16	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) ) -> B C_ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) )
89	87, 88	unssd 3789	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) ) -> ( ( y \ B ) u. B ) C_ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) )
90	20, 89	syl5ss 3614	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) ) -> y C_ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) )
91	17, 90	eqssd 3620	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y ) ) -> ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) = y )
92	91	expr 643	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y -> ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) = y ) )
93		npss 3717	. . . 4 |- ( -. ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C. y <-> ( ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C_ y -> ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) = y ) )
94	92, 93	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> -. ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C. y )
95	94	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. y e. A -. ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C. y )
96		sseq2 3627	. . . 4 |- ( x = ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) -> ( B C_ x <-> B C_ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) ) )
97		psseq1 3694	. . . . . 6 |- ( x = ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) -> ( x C. y <-> ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C. y ) )
98	97	notbid 308	. . . . 5 |- ( x = ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) -> ( -. x C. y <-> -. ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C. y ) )
99	98	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( x = ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) -> ( A. y e. A -. x C. y <-> A. y e. A -. ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C. y ) )
100	96, 99	anbi12d 747	. . 3 |- ( x = ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) -> ( ( B C_ x /\ A. y e. A -. x C. y ) <-> ( B C_ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) /\ A. y e. A -. ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C. y ) ) )
101	100	rspcev 3309	. 2 |- ( ( ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) e. A /\ ( B C_ ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) /\ A. y e. A -. ( G ` ( card ` ( U. A \ B ) ) ) C. y ) ) -> E. x e. A ( B C_ x /\ A. y e. A -. x C. y ) )
102	8, 16, 95, 101	syl12anc 1324	1 |- ( ph -> E. x e. A ( B C_ x /\ A. y e. A -. x C. y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  recscrecs 7467   Fincfn 7955   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-card 8765

This theorem is referenced by:  ttukey2g  9338