Theorem cnheiborlem 22753

Description: Lemma for cnheibor 22754. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnheibor.2	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
cnheibor.3	|- T = ( J ↾t X )
cnheibor.4	|- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
cnheibor.5	|- Y = ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cnheiborlem	|- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> T e. Comp )

Distinct variable groups:   z, F   z, R   x, y, z, T   x, J, y, z   x, X, y, z

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   Y( x, y, z)

Proof of Theorem cnheiborlem

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnheibor.2	. . . . 5 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldtop 22587	. . . 4 |- J e. Top
3		cnheibor.4	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
4	3	cnref1o 11827	. . . . . . . . 9 |- F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC
5		f1ofn 6138	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> F Fn ( RR X. RR ) )
6		elpreima 6337	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn ( RR X. RR ) -> ( u e. ( `' F " X ) <-> ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) )
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( `' F " X ) <-> ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) )
8		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( RR X. RR ) -> u = <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
9	8	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u = <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
10		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( RR X. RR ) -> ( 1st ` u ) e. RR )
11	10	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) e. RR )
12	11	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) e. CC )
13	12	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) e. RR )
14	1	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- J e. (TopOn ` CC )
15	14	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- CC = U. J
16	15	cldss 20833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X e. ( Clsd ` J ) -> X C_ CC )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ CC )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> X C_ CC )
19		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( F ` u ) e. X )
20	18, 19	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( F ` u ) e. CC )
21	20	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( F ` u ) ) e. RR )
22		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> R e. RR )
23		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u e. ( RR X. RR ) )
24		f1ocnvfv1 6532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC /\ u e. ( RR X. RR ) ) -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = u )
25	4, 23, 24	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = u )
26		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( F ` u ) -> ( Re ` z ) = ( Re ` ( F ` u ) ) )
27		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( F ` u ) -> ( Im ` z ) = ( Im ` ( F ` u ) ) )
28	26, 27	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( F ` u ) -> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
29	3	cnrecnv 13905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
30		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. e. _V
31	28, 29, 30	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` u ) e. CC -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
32	20, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
33	25, 32	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
34	33	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) = ( 1st ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) )
35		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Re ` ( F ` u ) ) e. _V
36		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Im ` ( F ` u ) ) e. _V
37	35, 36	op1st 7176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1st ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) = ( Re ` ( F ` u ) )
38	34, 37	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) = ( Re ` ( F ` u ) ) )
39	38	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) = ( abs ` ( Re ` ( F ` u ) ) ) )
40		absrele 14048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` u ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
41	20, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( Re ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
42	39, 41	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
43		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> A. z e. X ( abs ` z ) <_ R )
44		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( F ` u ) -> ( abs ` z ) = ( abs ` ( F ` u ) ) )
45	44	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( F ` u ) -> ( ( abs ` z ) <_ R <-> ( abs ` ( F ` u ) ) <_ R ) )
46	45	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` u ) e. X -> ( A. z e. X ( abs ` z ) <_ R -> ( abs ` ( F ` u ) ) <_ R ) )
47	19, 43, 46	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( F ` u ) ) <_ R )
48	13, 21, 22, 42, 47	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) <_ R )
49	11, 22	absled 14169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( abs ` ( 1st ` u ) ) <_ R <-> ( -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) ) )
50	48, 49	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) )
51	50	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> -u R <_ ( 1st ` u ) )
52	50	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) <_ R )
53		renegcl 10344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. RR -> -u R e. RR )
54	22, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> -u R e. RR )
55		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 1st ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) ) )
56	54, 22, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 1st ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) ) )
57	11, 51, 52, 56	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) )
58		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( RR X. RR ) -> ( 2nd ` u ) e. RR )
59	58	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) e. RR )
60	59	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) e. CC )
61	60	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) e. RR )
62	33	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) = ( 2nd ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) )
63	35, 36	op2nd 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2nd ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) = ( Im ` ( F ` u ) )
64	62, 63	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) = ( Im ` ( F ` u ) ) )
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) = ( abs ` ( Im ` ( F ` u ) ) ) )
66		absimle 14049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` u ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
67	20, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
68	65, 67	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
69	61, 21, 22, 68, 47	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) <_ R )
70	59, 22	absled 14169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( abs ` ( 2nd ` u ) ) <_ R <-> ( -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) ) )
71	69, 70	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) )
72	71	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> -u R <_ ( 2nd ` u ) )
73	71	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) <_ R )
74		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 2nd ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) ) )
75	54, 22, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 2nd ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) ) )
76	59, 72, 73, 75	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) )
77	57, 76	opelxpd 5149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
78	9, 77	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
79	78	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) -> u e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
80	7, 79	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( u e. ( `' F " X ) -> u e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
81	80	ssrdv 3609	. . . . . 6 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( `' F " X ) C_ ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
82		f1ofun 6139	. . . . . . . 8 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> Fun F )
83	4, 82	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- Fun F
84		f1ofo 6144	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> F : ( RR X. RR ) -onto-> CC )
85		forn 6118	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( RR X. RR ) -onto-> CC -> ran F = CC )
86	4, 84, 85	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ran F = CC
87	17, 86	syl6sseqr 3652	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ ran F )
88		funimass1 5971	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ X C_ ran F ) -> ( ( `' F " X ) C_ ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) -> X C_ ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) )
89	83, 87, 88	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( `' F " X ) C_ ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) -> X C_ ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) )
90	81, 89	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
91		cnheibor.5	. . . . 5 |- Y = ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
92	90, 91	syl6sseqr 3652	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ Y )
93		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
94	3, 93, 1	cnrehmeo 22752	. . . . . . 7 |- F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Homeo J )
95		imaexg 7103	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Homeo J ) -> ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. _V )
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. _V
97	91, 96	eqeltri 2697	. . . . 5 |- Y e. _V
98	97	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> Y e. _V )
99		restabs 20969	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ X C_ Y /\ Y e. _V ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) = ( J ↾t X ) )
100	2, 92, 98, 99	mp3an2i 1429	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) = ( J ↾t X ) )
101		cnheibor.3	. . 3 |- T = ( J ↾t X )
102	100, 101	syl6eqr 2674	. 2 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) = T )
103	91	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
104		ishmeo 21562	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Homeo J ) <-> ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J ) /\ `' F e. ( J Cn ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ) ) )
105	94, 104	mpbi 220	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J ) /\ `' F e. ( J Cn ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ) )
106	105	simpli 474	. . . . . 6 |- F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J )
107		iccssre 12255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( -u R [,] R ) C_ RR )
108	53, 107	mpancom 703	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> ( -u R [,] R ) C_ RR )
109	1, 93	rerest 22607	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u R [,] R ) C_ RR -> ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) )
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR -> ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) )
111	110, 110	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) ) )
112		retop 22565	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
113		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( -u R [,] R ) e. _V
114		txrest 21434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( topGen ` ran (,) ) e. Top ) /\ ( ( -u R [,] R ) e. _V /\ ( -u R [,] R ) e. _V ) ) -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) ) )
115	112, 112, 113, 113, 114	mp4an 709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) )
116	111, 115	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( R e. RR -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
117		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) )
118	93, 117	icccmp 22628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp )
119	53, 118	mpancom 703	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp )
120	110, 119	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR -> ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp )
121		txcmp 21446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp /\ ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp ) -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp )
122	120, 120, 121	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( R e. RR -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp )
123	116, 122	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( R e. RR -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp )
124		imacmp 21200	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J ) /\ ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp ) -> ( J ↾t ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) e. Comp )
125	106, 123, 124	sylancr 695	. . . . 5 |- ( R e. RR -> ( J ↾t ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) e. Comp )
126	103, 125	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( R e. RR -> ( J ↾t Y ) e. Comp )
127	126	ad2antrl 764	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( J ↾t Y ) e. Comp )
128		imassrn 5477	. . . . . 6 |- ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) C_ ran F
129	91, 128	eqsstri 3635	. . . . 5 |- Y C_ ran F
130		f1of 6137	. . . . . 6 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> F : ( RR X. RR ) --> CC )
131		frn 6053	. . . . . 6 |- ( F : ( RR X. RR ) --> CC -> ran F C_ CC )
132	4, 130, 131	mp2b 10	. . . . 5 |- ran F C_ CC
133	129, 132	sstri 3612	. . . 4 |- Y C_ CC
134		simpl 473	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X e. ( Clsd ` J ) )
135	15	restcldi 20977	. . . 4 |- ( ( Y C_ CC /\ X e. ( Clsd ` J ) /\ X C_ Y ) -> X e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
136	133, 134, 92, 135	mp3an2i 1429	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
137		cmpcld 21205	. . 3 |- ( ( ( J ↾t Y ) e. Comp /\ X e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) e. Comp )
138	127, 136, 137	syl2anc 693	. 2 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) e. Comp )
139	102, 138	eqeltrrd 2702	1 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> T e. Comp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   CCcc 9934   RRcr 9935   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   -ucneg 10267   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   Recre 13837   Imcim 13838   abscabs 13974   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698   Clsdccld 20820   Cn ccn 21028   Compccmp 21189   tX ctx 21363   Homeochmeo 21556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681

This theorem is referenced by:  cnheibor  22754