Theorem lhop1lem 23776

Description: Lemma for lhop1 23777. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhop1.a	|- ( ph -> A e. RR )
lhop1.b	|- ( ph -> B e. RR* )
lhop1.l	|- ( ph -> A < B )
lhop1.f	|- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
lhop1.g	|- ( ph -> G : ( A (,) B ) --> RR )
lhop1.if	|- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
lhop1.ig	|- ( ph -> dom ( RR _D G ) = ( A (,) B ) )
lhop1.f0	|- ( ph -> 0 e. ( F lim CC A ) )
lhop1.g0	|- ( ph -> 0 e. ( G lim CC A ) )
lhop1.gn0	|- ( ph -> -. 0 e. ran G )
lhop1.gd0	|- ( ph -> -. 0 e. ran ( RR _D G ) )
lhop1.c	|- ( ph -> C e. ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) lim CC A ) )
lhop1lem.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
lhop1lem.d	|- ( ph -> D e. RR )
lhop1lem.db	|- ( ph -> D <_ B )
lhop1lem.x	|- ( ph -> X e. ( A (,) D ) )
lhop1lem.t	|- ( ph -> A. t e. ( A (,) D ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` t ) / ( ( RR _D G ) ` t ) ) - C ) ) < E )
lhop1lem.r	|- R = ( A + ( r / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
lhop1lem	|- ( ph -> ( abs ` ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) - C ) ) < ( 2 x. E ) )

Distinct variable groups:   z, r, B   t, D   ph, r, z   z, R   t, r, A, z   E, r, t   X, r, z   C, r, t, z   F, r, t, z   G, r, t, z

Allowed substitution hints:   ph( t)   B( t)   D( z, r)   R( t, r)   E( z)   X( t)

Proof of Theorem lhop1lem

Dummy variables v x u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhop1.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
2		lhop1.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR* )
3		lhop1lem.db	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D <_ B )
4		iooss2 12211	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR* /\ D <_ B ) -> ( A (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
6		lhop1lem.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. ( A (,) D ) )
7	5, 6	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( A (,) B ) )
8	1, 7	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` X ) e. RR )
9	8	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` X ) e. CC )
10		lhop1.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G : ( A (,) B ) --> RR )
11	10, 7	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` X ) e. RR )
12	11	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` X ) e. CC )
13		lhop1.gn0	. . . . . 6 |- ( ph -> -. 0 e. ran G )
14		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( G : ( A (,) B ) --> RR -> G Fn ( A (,) B ) )
15	10, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G Fn ( A (,) B ) )
16		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . 9 |- ( ( G Fn ( A (,) B ) /\ X e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` X ) e. ran G )
17	15, 7, 16	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` X ) e. ran G )
18		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` X ) = 0 -> ( ( G ` X ) e. ran G <-> 0 e. ran G ) )
19	17, 18	syl5ibcom 235	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ` X ) = 0 -> 0 e. ran G ) )
20	19	necon3bd 2808	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. 0 e. ran G -> ( G ` X ) =/= 0 ) )
21	13, 20	mpd 15	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` X ) =/= 0 )
22	9, 12, 21	divcld 10801	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) e. CC )
23		limccl 23639	. . . . 5 |- ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) lim CC A ) C_ CC
24		lhop1.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) lim CC A ) )
25	23, 24	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ph -> C e. CC )
26	22, 25	subcld 10392	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) - C ) e. CC )
27	26	abscld 14175	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) - C ) ) e. RR )
28		lhop1lem.e	. . 3 |- ( ph -> E e. RR+ )
29	28	rpred 11872	. 2 |- ( ph -> E e. RR )
30		2re 11090	. . . 4 |- 2 e. RR
31	30	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 2 e. RR )
32	31, 29	remulcld 10070	. 2 |- ( ph -> ( 2 x. E ) e. RR )
33		cnxmet 22576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A e. v ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
35		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A e. v ) ) -> v e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
36		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A e. v ) ) -> A e. v )
37		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. ( A (,) D ) -> ( A < X /\ X < D ) )
38	6, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A < X /\ X < D ) )
39	38	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A < X )
40		lhop1.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
41		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A (,) D ) C_ RR
42	41, 6	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X e. RR )
43		difrp 11868	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ X e. RR ) -> ( A < X <-> ( X - A ) e. RR+ ) )
44	40, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A < X <-> ( X - A ) e. RR+ ) )
45	39, 44	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X - A ) e. RR+ )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A e. v ) ) -> ( X - A ) e. RR+ )
47		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
48	47	cnfldtopn 22585	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
49	48	mopni3 22299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A e. v ) /\ ( X - A ) e. RR+ ) -> E. r e. RR+ ( r < ( X - A ) /\ ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ v ) )
50	34, 35, 36, 46, 49	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A e. v ) ) -> E. r e. RR+ ( r < ( X - A ) /\ ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ v ) )
51		lhop1lem.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- R = ( A + ( r / 2 ) )
52	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> A e. RR )
53		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> r e. RR+ )
54	53	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> r e. RR )
55	54	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( r / 2 ) e. RR )
56	52, 55	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( A + ( r / 2 ) ) e. RR )
57	51, 56	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> R e. RR )
58	57	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> R e. CC )
59	40	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> A e. CC )
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> A e. CC )
61		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
62	61	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R e. CC /\ A e. CC ) -> ( R ( abs o. - ) A ) = ( abs ` ( R - A ) ) )
63	58, 60, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( R ( abs o. - ) A ) = ( abs ` ( R - A ) ) )
64	51	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( R - A ) = ( ( A + ( r / 2 ) ) - A )
65	54	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> r e. CC )
66	65	halfcld 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( r / 2 ) e. CC )
67	60, 66	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( ( A + ( r / 2 ) ) - A ) = ( r / 2 ) )
68	64, 67	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( R - A ) = ( r / 2 ) )
69	68	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( abs ` ( R - A ) ) = ( abs ` ( r / 2 ) ) )
70	53	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( r / 2 ) e. RR+ )
71	70	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( r / 2 ) e. RR )
72	70	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> 0 <_ ( r / 2 ) )
73	71, 72	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( abs ` ( r / 2 ) ) = ( r / 2 ) )
74	63, 69, 73	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( R ( abs o. - ) A ) = ( r / 2 ) )
75		rphalflt 11860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) < r )
76	53, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( r / 2 ) < r )
77	74, 76	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( R ( abs o. - ) A ) < r )
78	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
79	54	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> r e. RR* )
80		elbl3 22197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ r e. RR* ) /\ ( A e. CC /\ R e. CC ) ) -> ( R e. ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( R ( abs o. - ) A ) < r ) )
81	78, 79, 60, 58, 80	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( R e. ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( R ( abs o. - ) A ) < r ) )
82	77, 81	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> R e. ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
83	52, 70	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> A < ( A + ( r / 2 ) ) )
84	83, 51	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> A < R )
85	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> X e. RR )
86	85, 52	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( X - A ) e. RR )
87		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> r < ( X - A ) )
88	71, 54, 86, 76, 87	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( r / 2 ) < ( X - A ) )
89	52, 71, 85	ltaddsub2d 10628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( ( A + ( r / 2 ) ) < X <-> ( r / 2 ) < ( X - A ) ) )
90	88, 89	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( A + ( r / 2 ) ) < X )
91	51, 90	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> R < X )
92	52	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> A e. RR* )
93	42	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> X e. RR* )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> X e. RR* )
95		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. RR* /\ X e. RR* ) -> ( R e. ( A (,) X ) <-> ( R e. RR /\ A < R /\ R < X ) ) )
96	92, 94, 95	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( R e. ( A (,) X ) <-> ( R e. RR /\ A < R /\ R < X ) ) )
97	57, 84, 91, 96	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> R e. ( A (,) X ) )
98	82, 97	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> R e. ( ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i ( A (,) X ) ) )
99	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( F ` X ) e. CC )
100	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
101		lhop1lem.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> D e. RR )
102	101	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> D e. RR* )
103	38	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> X < D )
104	42, 101, 103	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> X <_ D )
105	93, 102, 2, 104, 3	xrletrd 11993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> X <_ B )
106		iooss2 12211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( B e. RR* /\ X <_ B ) -> ( A (,) X ) C_ ( A (,) B ) )
107	2, 105, 106	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( A (,) X ) C_ ( A (,) B ) )
108	107	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( A (,) X ) C_ ( A (,) B ) )
109	108, 97	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> R e. ( A (,) B ) )
110	100, 109	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( F ` R ) e. RR )
111	110	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( F ` R ) e. CC )
112	99, 111	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) e. CC )
113	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( G ` X ) e. CC )
114	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> G : ( A (,) B ) --> RR )
115	114, 109	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( G ` R ) e. RR )
116	115	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( G ` R ) e. CC )
117	113, 116	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) e. CC )
118		lhop1.gd0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> -. 0 e. ran ( RR _D G ) )
119	118	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> -. 0 e. ran ( RR _D G ) )
120	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( G ` X ) e. CC )
121	107	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> z e. ( A (,) B ) )
122	10	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` z ) e. RR )
123	121, 122	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( G ` z ) e. RR )
124	123	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
125	120, 124	subeq0ad 10402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) = 0 <-> ( G ` X ) = ( G ` z ) ) )
126		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( A (,) B ) C_ RR
127	126, 121	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> z e. RR )
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> z e. RR )
129	42	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> X e. RR )
130		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( z e. ( A (,) X ) -> ( A < z /\ z < X ) )
131	130	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( A < z /\ z < X ) )
132	131	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> z < X )
133	132	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> z < X )
134	40	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ph -> A e. RR* )
135	134	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> A e. RR* )
136	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> B e. RR* )
137	131	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> A < z )
138	93, 102, 2, 103, 3	xrltletrd 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ph -> X < B )
139	138	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> X < B )
140		iccssioo 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( A < z /\ X < B ) ) -> ( z [,] X ) C_ ( A (,) B ) )
141	135, 136, 137, 139, 140	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( z [,] X ) C_ ( A (,) B ) )
142	141	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> ( z [,] X ) C_ ( A (,) B ) )
143		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- RR C_ CC
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ph -> RR C_ CC )
145		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( G : ( A (,) B ) --> RR /\ RR C_ CC ) -> G : ( A (,) B ) --> CC )
146	10, 143, 145	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ph -> G : ( A (,) B ) --> CC )
147	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
148		lhop1.ig	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ph -> dom ( RR _D G ) = ( A (,) B ) )
149		dvcn 23684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( RR C_ CC /\ G : ( A (,) B ) --> CC /\ ( A (,) B ) C_ RR ) /\ dom ( RR _D G ) = ( A (,) B ) ) -> G e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
150	144, 146, 147, 148, 149	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ph -> G e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
151		cncffvrn 22701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( RR C_ CC /\ G e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) -> ( G e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> G : ( A (,) B ) --> RR ) )
152	143, 150, 151	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ph -> ( G e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> G : ( A (,) B ) --> RR ) )
153	10, 152	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ph -> G e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
154	153	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> G e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
155		rescncf 22700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( z [,] X ) C_ ( A (,) B ) -> ( G e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) -> ( G |` ( z [,] X ) ) e. ( ( z [,] X ) -cn-> RR ) ) )
156	142, 154, 155	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> ( G |` ( z [,] X ) ) e. ( ( z [,] X ) -cn-> RR ) )
157	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> RR C_ CC )
158	146	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> G : ( A (,) B ) --> CC )
159	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> ( A (,) B ) C_ RR )
160	142, 126	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> ( z [,] X ) C_ RR )
161	47	tgioo2 22606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
162	47, 161	dvres 23675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( RR C_ CC /\ G : ( A (,) B ) --> CC ) /\ ( ( A (,) B ) C_ RR /\ ( z [,] X ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( G |` ( z [,] X ) ) ) = ( ( RR _D G ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( z [,] X ) ) ) )
163	157, 158, 159, 160, 162	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> ( RR _D ( G |` ( z [,] X ) ) ) = ( ( RR _D G ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( z [,] X ) ) ) )
164		iccntr 22624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( z e. RR /\ X e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( z [,] X ) ) = ( z (,) X ) )
165	128, 129, 164	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( z [,] X ) ) = ( z (,) X ) )
166	165	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> ( ( RR _D G ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( z [,] X ) ) ) = ( ( RR _D G ) |` ( z (,) X ) ) )
167	163, 166	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> ( RR _D ( G |` ( z [,] X ) ) ) = ( ( RR _D G ) |` ( z (,) X ) ) )
168	167	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> dom ( RR _D ( G |` ( z [,] X ) ) ) = dom ( ( RR _D G ) |` ( z (,) X ) ) )
169		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( z (,) X ) C_ ( z [,] X )
170	169, 142	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> ( z (,) X ) C_ ( A (,) B ) )
171	148	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> dom ( RR _D G ) = ( A (,) B ) )
172	170, 171	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> ( z (,) X ) C_ dom ( RR _D G ) )
173		ssdmres 5420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( z (,) X ) C_ dom ( RR _D G ) <-> dom ( ( RR _D G ) |` ( z (,) X ) ) = ( z (,) X ) )
174	172, 173	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> dom ( ( RR _D G ) |` ( z (,) X ) ) = ( z (,) X ) )
175	168, 174	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> dom ( RR _D ( G |` ( z [,] X ) ) ) = ( z (,) X ) )
176	127	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> z e. RR* )
177	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> X e. RR* )
178	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> X e. RR )
179	127, 178, 132	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> z <_ X )
180		ubicc2 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( z e. RR* /\ X e. RR* /\ z <_ X ) -> X e. ( z [,] X ) )
181	176, 177, 179, 180	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> X e. ( z [,] X ) )
182		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( X e. ( z [,] X ) -> ( ( G |` ( z [,] X ) ) ` X ) = ( G ` X ) )
183	181, 182	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( ( G |` ( z [,] X ) ) ` X ) = ( G ` X ) )
184		lbicc2 12288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( z e. RR* /\ X e. RR* /\ z <_ X ) -> z e. ( z [,] X ) )
185	176, 177, 179, 184	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> z e. ( z [,] X ) )
186		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( z e. ( z [,] X ) -> ( ( G |` ( z [,] X ) ) ` z ) = ( G ` z ) )
187	185, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( ( G |` ( z [,] X ) ) ` z ) = ( G ` z ) )
188	183, 187	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( ( ( G |` ( z [,] X ) ) ` X ) = ( ( G |` ( z [,] X ) ) ` z ) <-> ( G ` X ) = ( G ` z ) ) )
189	188	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> ( ( G |` ( z [,] X ) ) ` X ) = ( ( G |` ( z [,] X ) ) ` z ) )
190	189	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> ( ( G |` ( z [,] X ) ) ` z ) = ( ( G |` ( z [,] X ) ) ` X ) )
191	128, 129, 133, 156, 175, 190	rolle 23753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> E. w e. ( z (,) X ) ( ( RR _D ( G |` ( z [,] X ) ) ) ` w ) = 0 )
192	167	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> ( ( RR _D ( G |` ( z [,] X ) ) ) ` w ) = ( ( ( RR _D G ) |` ( z (,) X ) ) ` w ) )
193		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( w e. ( z (,) X ) -> ( ( ( RR _D G ) |` ( z (,) X ) ) ` w ) = ( ( RR _D G ) ` w ) )
194	192, 193	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) /\ w e. ( z (,) X ) ) -> ( ( RR _D ( G |` ( z [,] X ) ) ) ` w ) = ( ( RR _D G ) ` w ) )
195		dvf 23671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( RR _D G ) : dom ( RR _D G ) --> CC
196	148	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ph -> ( ( RR _D G ) : dom ( RR _D G ) --> CC <-> ( RR _D G ) : ( A (,) B ) --> CC ) )
197	195, 196	mpbii 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ph -> ( RR _D G ) : ( A (,) B ) --> CC )
198	197	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> ( RR _D G ) : ( A (,) B ) --> CC )
199		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( RR _D G ) : ( A (,) B ) --> CC -> ( RR _D G ) Fn ( A (,) B ) )
200	198, 199	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> ( RR _D G ) Fn ( A (,) B ) )
201	200	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) /\ w e. ( z (,) X ) ) -> ( RR _D G ) Fn ( A (,) B ) )
202	170	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) /\ w e. ( z (,) X ) ) -> w e. ( A (,) B ) )
203		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( RR _D G ) Fn ( A (,) B ) /\ w e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D G ) ` w ) e. ran ( RR _D G ) )
204	201, 202, 203	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) /\ w e. ( z (,) X ) ) -> ( ( RR _D G ) ` w ) e. ran ( RR _D G ) )
205	194, 204	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) /\ w e. ( z (,) X ) ) -> ( ( RR _D ( G |` ( z [,] X ) ) ) ` w ) e. ran ( RR _D G ) )
206		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( RR _D ( G |` ( z [,] X ) ) ) ` w ) = 0 -> ( ( ( RR _D ( G |` ( z [,] X ) ) ) ` w ) e. ran ( RR _D G ) <-> 0 e. ran ( RR _D G ) ) )
207	205, 206	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) /\ w e. ( z (,) X ) ) -> ( ( ( RR _D ( G |` ( z [,] X ) ) ) ` w ) = 0 -> 0 e. ran ( RR _D G ) ) )
208	207	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> ( E. w e. ( z (,) X ) ( ( RR _D ( G |` ( z [,] X ) ) ) ` w ) = 0 -> 0 e. ran ( RR _D G ) ) )
209	191, 208	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) /\ ( G ` X ) = ( G ` z ) ) -> 0 e. ran ( RR _D G ) )
210	209	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( ( G ` X ) = ( G ` z ) -> 0 e. ran ( RR _D G ) ) )
211	125, 210	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) = 0 -> 0 e. ran ( RR _D G ) ) )
212	211	necon3bd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( -. 0 e. ran ( RR _D G ) -> ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) =/= 0 ) )
213	119, 212	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) =/= 0 )
214	213	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> A. z e. ( A (,) X ) ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) =/= 0 )
215	214	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> A. z e. ( A (,) X ) ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) =/= 0 )
216		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z = R -> ( G ` z ) = ( G ` R ) )
217	216	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z = R -> ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) = ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) )
218	217	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = R -> ( ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) =/= 0 <-> ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) =/= 0 ) )
219	218	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R e. ( A (,) X ) -> ( A. z e. ( A (,) X ) ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) =/= 0 -> ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) =/= 0 ) )
220	97, 215, 219	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) =/= 0 )
221	112, 117, 220	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) e. CC )
222	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> C e. CC )
223	221, 222	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) - C ) e. CC )
224	223	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) - C ) ) e. RR )
225	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> E e. RR )
226	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> D e. RR* )
227	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> X < D )
228		iccssioo 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. RR* /\ D e. RR* ) /\ ( A < R /\ X < D ) ) -> ( R [,] X ) C_ ( A (,) D ) )
229	92, 226, 84, 227, 228	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( R [,] X ) C_ ( A (,) D ) )
230	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( A (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
231	229, 230	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( R [,] X ) C_ ( A (,) B ) )
232		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F : ( A (,) B ) --> RR /\ RR C_ CC ) -> F : ( A (,) B ) --> CC )
233	1, 143, 232	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> CC )
234		lhop1.if	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
235		dvcn 23684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : ( A (,) B ) --> CC /\ ( A (,) B ) C_ RR ) /\ dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) ) -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
236	144, 233, 147, 234, 235	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
237		cncffvrn 22701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( RR C_ CC /\ F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) -> ( F e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> F : ( A (,) B ) --> RR ) )
238	143, 236, 237	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( F e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> F : ( A (,) B ) --> RR ) )
239	1, 238	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
240	239	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
241		rescncf 22700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R [,] X ) C_ ( A (,) B ) -> ( F e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) -> ( F |` ( R [,] X ) ) e. ( ( R [,] X ) -cn-> RR ) ) )
242	231, 240, 241	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( F |` ( R [,] X ) ) e. ( ( R [,] X ) -cn-> RR ) )
243	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> G e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
244		rescncf 22700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R [,] X ) C_ ( A (,) B ) -> ( G e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) -> ( G |` ( R [,] X ) ) e. ( ( R [,] X ) -cn-> RR ) ) )
245	231, 243, 244	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( G |` ( R [,] X ) ) e. ( ( R [,] X ) -cn-> RR ) )
246	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> RR C_ CC )
247	233	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> F : ( A (,) B ) --> CC )
248	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( A (,) B ) C_ RR )
249		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( R e. RR /\ X e. RR ) -> ( R [,] X ) C_ RR )
250	57, 85, 249	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( R [,] X ) C_ RR )
251	47, 161	dvres 23675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : ( A (,) B ) --> CC ) /\ ( ( A (,) B ) C_ RR /\ ( R [,] X ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( R [,] X ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( R [,] X ) ) ) )
252	246, 247, 248, 250, 251	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( RR _D ( F |` ( R [,] X ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( R [,] X ) ) ) )
253		iccntr 22624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( R e. RR /\ X e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( R [,] X ) ) = ( R (,) X ) )
254	57, 85, 253	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( R [,] X ) ) = ( R (,) X ) )
255	254	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( R [,] X ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( R (,) X ) ) )
256	252, 255	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( RR _D ( F |` ( R [,] X ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( R (,) X ) ) )
257	256	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> dom ( RR _D ( F |` ( R [,] X ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( R (,) X ) ) )
258	52, 57, 84	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> A <_ R )
259		iooss1 12210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. RR* /\ A <_ R ) -> ( R (,) X ) C_ ( A (,) X ) )
260	92, 258, 259	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( R (,) X ) C_ ( A (,) X ) )
261	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> X <_ D )
262		iooss2 12211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( D e. RR* /\ X <_ D ) -> ( A (,) X ) C_ ( A (,) D ) )
263	226, 261, 262	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( A (,) X ) C_ ( A (,) D ) )
264	260, 263	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( R (,) X ) C_ ( A (,) D ) )
265	264, 230	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( R (,) X ) C_ ( A (,) B ) )
266	234	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
267	265, 266	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( R (,) X ) C_ dom ( RR _D F ) )
268		ssdmres 5420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R (,) X ) C_ dom ( RR _D F ) <-> dom ( ( RR _D F ) |` ( R (,) X ) ) = ( R (,) X ) )
269	267, 268	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> dom ( ( RR _D F ) |` ( R (,) X ) ) = ( R (,) X ) )
270	257, 269	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> dom ( RR _D ( F |` ( R [,] X ) ) ) = ( R (,) X ) )
271	146	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> G : ( A (,) B ) --> CC )
272	47, 161	dvres 23675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( RR C_ CC /\ G : ( A (,) B ) --> CC ) /\ ( ( A (,) B ) C_ RR /\ ( R [,] X ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( G |` ( R [,] X ) ) ) = ( ( RR _D G ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( R [,] X ) ) ) )
273	246, 271, 248, 250, 272	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( RR _D ( G |` ( R [,] X ) ) ) = ( ( RR _D G ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( R [,] X ) ) ) )
274	254	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( ( RR _D G ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( R [,] X ) ) ) = ( ( RR _D G ) |` ( R (,) X ) ) )
275	273, 274	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( RR _D ( G |` ( R [,] X ) ) ) = ( ( RR _D G ) |` ( R (,) X ) ) )
276	275	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> dom ( RR _D ( G |` ( R [,] X ) ) ) = dom ( ( RR _D G ) |` ( R (,) X ) ) )
277	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> dom ( RR _D G ) = ( A (,) B ) )
278	265, 277	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( R (,) X ) C_ dom ( RR _D G ) )
279		ssdmres 5420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R (,) X ) C_ dom ( RR _D G ) <-> dom ( ( RR _D G ) |` ( R (,) X ) ) = ( R (,) X ) )
280	278, 279	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> dom ( ( RR _D G ) |` ( R (,) X ) ) = ( R (,) X ) )
281	276, 280	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> dom ( RR _D ( G |` ( R [,] X ) ) ) = ( R (,) X ) )
282	57, 85, 91, 242, 245, 270, 281	cmvth 23754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> E. w e. ( R (,) X ) ( ( ( ( F |` ( R [,] X ) ) ` X ) - ( ( F |` ( R [,] X ) ) ` R ) ) x. ( ( RR _D ( G |` ( R [,] X ) ) ) ` w ) ) = ( ( ( ( G |` ( R [,] X ) ) ` X ) - ( ( G |` ( R [,] X ) ) ` R ) ) x. ( ( RR _D ( F |` ( R [,] X ) ) ) ` w ) ) )
283	57	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> R e. RR* )
284	283	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> R e. RR* )
285	93	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> X e. RR* )
286	57, 85, 91	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> R <_ X )
287	286	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> R <_ X )
288		ubicc2 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( R e. RR* /\ X e. RR* /\ R <_ X ) -> X e. ( R [,] X ) )
289	284, 285, 287, 288	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> X e. ( R [,] X ) )
290		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( X e. ( R [,] X ) -> ( ( F |` ( R [,] X ) ) ` X ) = ( F ` X ) )
291	289, 290	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( F |` ( R [,] X ) ) ` X ) = ( F ` X ) )
292		lbicc2 12288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( R e. RR* /\ X e. RR* /\ R <_ X ) -> R e. ( R [,] X ) )
293	284, 285, 287, 292	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> R e. ( R [,] X ) )
294		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( R e. ( R [,] X ) -> ( ( F |` ( R [,] X ) ) ` R ) = ( F ` R ) )
295	293, 294	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( F |` ( R [,] X ) ) ` R ) = ( F ` R ) )
296	291, 295	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( ( F |` ( R [,] X ) ) ` X ) - ( ( F |` ( R [,] X ) ) ` R ) ) = ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) )
297	275	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( ( RR _D ( G |` ( R [,] X ) ) ) ` w ) = ( ( ( RR _D G ) |` ( R (,) X ) ) ` w ) )
298		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w e. ( R (,) X ) -> ( ( ( RR _D G ) |` ( R (,) X ) ) ` w ) = ( ( RR _D G ) ` w ) )
299	297, 298	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( RR _D ( G |` ( R [,] X ) ) ) ` w ) = ( ( RR _D G ) ` w ) )
300	296, 299	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( ( ( F |` ( R [,] X ) ) ` X ) - ( ( F |` ( R [,] X ) ) ` R ) ) x. ( ( RR _D ( G |` ( R [,] X ) ) ) ` w ) ) = ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) x. ( ( RR _D G ) ` w ) ) )
301		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( X e. ( R [,] X ) -> ( ( G |` ( R [,] X ) ) ` X ) = ( G ` X ) )
302	289, 301	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( G |` ( R [,] X ) ) ` X ) = ( G ` X ) )
303		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( R e. ( R [,] X ) -> ( ( G |` ( R [,] X ) ) ` R ) = ( G ` R ) )
304	293, 303	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( G |` ( R [,] X ) ) ` R ) = ( G ` R ) )
305	302, 304	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( ( G |` ( R [,] X ) ) ` X ) - ( ( G |` ( R [,] X ) ) ` R ) ) = ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) )
306	256	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( R [,] X ) ) ) ` w ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( R (,) X ) ) ` w ) )
307		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( w e. ( R (,) X ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( R (,) X ) ) ` w ) = ( ( RR _D F ) ` w ) )
308	306, 307	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( R [,] X ) ) ) ` w ) = ( ( RR _D F ) ` w ) )
309	305, 308	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( ( ( G |` ( R [,] X ) ) ` X ) - ( ( G |` ( R [,] X ) ) ` R ) ) x. ( ( RR _D ( F |` ( R [,] X ) ) ) ` w ) ) = ( ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) x. ( ( RR _D F ) ` w ) ) )
310	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) e. CC )
311		dvf 23671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> CC
312	234	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> CC <-> ( RR _D F ) : ( A (,) B ) --> CC ) )
313	311, 312	mpbii 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( RR _D F ) : ( A (,) B ) --> CC )
314	313	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( RR _D F ) : ( A (,) B ) --> CC )
315	265	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> w e. ( A (,) B ) )
316	314, 315	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( RR _D F ) ` w ) e. CC )
317	310, 316	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) x. ( ( RR _D F ) ` w ) ) = ( ( ( RR _D F ) ` w ) x. ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) )
318	309, 317	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( ( ( G |` ( R [,] X ) ) ` X ) - ( ( G |` ( R [,] X ) ) ` R ) ) x. ( ( RR _D ( F |` ( R [,] X ) ) ) ` w ) ) = ( ( ( RR _D F ) ` w ) x. ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) )
319	300, 318	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( ( ( ( F |` ( R [,] X ) ) ` X ) - ( ( F |` ( R [,] X ) ) ` R ) ) x. ( ( RR _D ( G |` ( R [,] X ) ) ) ` w ) ) = ( ( ( ( G |` ( R [,] X ) ) ` X ) - ( ( G |` ( R [,] X ) ) ` R ) ) x. ( ( RR _D ( F |` ( R [,] X ) ) ) ` w ) ) <-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) x. ( ( RR _D G ) ` w ) ) = ( ( ( RR _D F ) ` w ) x. ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) ) )
320	112	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) e. CC )
321	197	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( RR _D G ) : ( A (,) B ) --> CC )
322	321, 315	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( RR _D G ) ` w ) e. CC )
323	220	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) =/= 0 )
324	118	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> -. 0 e. ran ( RR _D G ) )
325	321, 199	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( RR _D G ) Fn ( A (,) B ) )
326	325, 315, 203	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( RR _D G ) ` w ) e. ran ( RR _D G ) )
327		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( RR _D G ) ` w ) = 0 -> ( ( ( RR _D G ) ` w ) e. ran ( RR _D G ) <-> 0 e. ran ( RR _D G ) ) )
328	326, 327	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( ( RR _D G ) ` w ) = 0 -> 0 e. ran ( RR _D G ) ) )
329	328	necon3bd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( -. 0 e. ran ( RR _D G ) -> ( ( RR _D G ) ` w ) =/= 0 ) )
330	324, 329	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( RR _D G ) ` w ) =/= 0 )
331	320, 310, 316, 322, 323, 330	divmuleqd 10847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) = ( ( ( RR _D F ) ` w ) / ( ( RR _D G ) ` w ) ) <-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) x. ( ( RR _D G ) ` w ) ) = ( ( ( RR _D F ) ` w ) x. ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) ) )
332	319, 331	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( ( ( ( F |` ( R [,] X ) ) ` X ) - ( ( F |` ( R [,] X ) ) ` R ) ) x. ( ( RR _D ( G |` ( R [,] X ) ) ) ` w ) ) = ( ( ( ( G |` ( R [,] X ) ) ` X ) - ( ( G |` ( R [,] X ) ) ` R ) ) x. ( ( RR _D ( F |` ( R [,] X ) ) ) ` w ) ) <-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) = ( ( ( RR _D F ) ` w ) / ( ( RR _D G ) ` w ) ) ) )
333	332	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( E. w e. ( R (,) X ) ( ( ( ( F |` ( R [,] X ) ) ` X ) - ( ( F |` ( R [,] X ) ) ` R ) ) x. ( ( RR _D ( G |` ( R [,] X ) ) ) ` w ) ) = ( ( ( ( G |` ( R [,] X ) ) ` X ) - ( ( G |` ( R [,] X ) ) ` R ) ) x. ( ( RR _D ( F |` ( R [,] X ) ) ) ` w ) ) <-> E. w e. ( R (,) X ) ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) = ( ( ( RR _D F ) ` w ) / ( ( RR _D G ) ` w ) ) ) )
334	282, 333	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> E. w e. ( R (,) X ) ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) = ( ( ( RR _D F ) ` w ) / ( ( RR _D G ) ` w ) ) )
335	264	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> w e. ( A (,) D ) )
336		lhop1lem.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> A. t e. ( A (,) D ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` t ) / ( ( RR _D G ) ` t ) ) - C ) ) < E )
337	336	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> A. t e. ( A (,) D ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` t ) / ( ( RR _D G ) ` t ) ) - C ) ) < E )
338		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( t = w -> ( ( RR _D F ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` w ) )
339		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( t = w -> ( ( RR _D G ) ` t ) = ( ( RR _D G ) ` w ) )
340	338, 339	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( t = w -> ( ( ( RR _D F ) ` t ) / ( ( RR _D G ) ` t ) ) = ( ( ( RR _D F ) ` w ) / ( ( RR _D G ) ` w ) ) )
341	340	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( t = w -> ( ( ( ( RR _D F ) ` t ) / ( ( RR _D G ) ` t ) ) - C ) = ( ( ( ( RR _D F ) ` w ) / ( ( RR _D G ) ` w ) ) - C ) )
342	341	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( t = w -> ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` t ) / ( ( RR _D G ) ` t ) ) - C ) ) = ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` w ) / ( ( RR _D G ) ` w ) ) - C ) ) )
343	342	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( t = w -> ( ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` t ) / ( ( RR _D G ) ` t ) ) - C ) ) < E <-> ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` w ) / ( ( RR _D G ) ` w ) ) - C ) ) < E ) )
344	343	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. ( A (,) D ) -> ( A. t e. ( A (,) D ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` t ) / ( ( RR _D G ) ` t ) ) - C ) ) < E -> ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` w ) / ( ( RR _D G ) ` w ) ) - C ) ) < E ) )
345	335, 337, 344	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` w ) / ( ( RR _D G ) ` w ) ) - C ) ) < E )
346		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) = ( ( ( RR _D F ) ` w ) / ( ( RR _D G ) ` w ) ) -> ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) - C ) = ( ( ( ( RR _D F ) ` w ) / ( ( RR _D G ) ` w ) ) - C ) )
347	346	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) = ( ( ( RR _D F ) ` w ) / ( ( RR _D G ) ` w ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) - C ) ) = ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` w ) / ( ( RR _D G ) ` w ) ) - C ) ) )
348	347	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) = ( ( ( RR _D F ) ` w ) / ( ( RR _D G ) ` w ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) - C ) ) < E <-> ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` w ) / ( ( RR _D G ) ` w ) ) - C ) ) < E ) )
349	345, 348	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) /\ w e. ( R (,) X ) ) -> ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) = ( ( ( RR _D F ) ` w ) / ( ( RR _D G ) ` w ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) - C ) ) < E ) )
350	349	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( E. w e. ( R (,) X ) ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) = ( ( ( RR _D F ) ` w ) / ( ( RR _D G ) ` w ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) - C ) ) < E ) )
351	334, 350	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) - C ) ) < E )
352	224, 225, 351	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) - C ) ) <_ E )
353		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( u = R -> ( F ` u ) = ( F ` R ) )
354	353	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u = R -> ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) = ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) )
355		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( u = R -> ( G ` u ) = ( G ` R ) )
356	355	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u = R -> ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) = ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) )
357	354, 356	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u = R -> ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) = ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) )
358	357	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u = R -> ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) = ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) - C ) )
359	358	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u = R -> ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) ) = ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) - C ) ) )
360	359	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = R -> ( ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) ) <_ E <-> ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) - C ) ) <_ E ) )
361	360	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ( ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i ( A (,) X ) ) /\ ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` R ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` R ) ) ) - C ) ) <_ E ) -> E. u e. ( ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i ( A (,) X ) ) ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) ) <_ E )
362	98, 352, 361	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> E. u e. ( ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i ( A (,) X ) ) ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) ) <_ E )
363	362	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A e. v ) ) /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> E. u e. ( ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i ( A (,) X ) ) ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) ) <_ E )
364		ssrin 3838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ v -> ( ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i ( A (,) X ) ) C_ ( v i^i ( A (,) X ) ) )
365		lbioo 12206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -. A e. ( A (,) X )
366		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A (,) X ) i^i { A } ) = (/) <-> -. A e. ( A (,) X ) )
367	365, 366	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A (,) X ) i^i { A } ) = (/)
368		disj3 4021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A (,) X ) i^i { A } ) = (/) <-> ( A (,) X ) = ( ( A (,) X ) \ { A } ) )
369	367, 368	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A (,) X ) = ( ( A (,) X ) \ { A } )
370	369	ineq2i 3811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v i^i ( A (,) X ) ) = ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) )
371	364, 370	syl6sseq 3651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ v -> ( ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i ( A (,) X ) ) C_ ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) )
372		ssrexv 3667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i ( A (,) X ) ) C_ ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) -> ( E. u e. ( ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i ( A (,) X ) ) ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) ) <_ E -> E. u e. ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) ) <_ E ) )
373	371, 372	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ v -> ( E. u e. ( ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i ( A (,) X ) ) ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) ) <_ E -> E. u e. ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) ) <_ E ) )
374	363, 373	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A e. v ) ) /\ ( r e. RR+ /\ r < ( X - A ) ) ) -> ( ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ v -> E. u e. ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) ) <_ E ) )
375	374	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A e. v ) ) /\ r e. RR+ ) /\ r < ( X - A ) ) -> ( ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ v -> E. u e. ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) ) <_ E ) )
376	375	expimpd 629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A e. v ) ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( r < ( X - A ) /\ ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ v ) -> E. u e. ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) ) <_ E ) )
377	376	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A e. v ) ) -> ( E. r e. RR+ ( r < ( X - A ) /\ ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ v ) -> E. u e. ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) ) <_ E ) )
378	50, 377	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A e. v ) ) -> E. u e. ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) ) <_ E )
379		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) C_ ( ( A (,) X ) \ { A } )
380		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A (,) X ) \ { A } ) C_ ( A (,) X )
381	379, 380	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) C_ ( A (,) X )
382	381	sseli 3599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) -> u e. ( A (,) X ) )
383		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = u -> ( F ` z ) = ( F ` u ) )
384	383	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = u -> ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) = ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) )
385		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = u -> ( G ` z ) = ( G ` u ) )
386	385	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = u -> ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) = ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) )
387	384, 386	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = u -> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) = ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) )
388		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) = ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) )
389		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) e. _V
390	387, 388, 389	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( A (,) X ) -> ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) ` u ) = ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) )
391	390	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( A (,) X ) -> ( ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) ` u ) - C ) = ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) )
392	391	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( A (,) X ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) ` u ) - C ) ) = ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) ) )
393	392	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( A (,) X ) -> ( ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) ` u ) - C ) ) <_ E <-> ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) ) <_ E ) )
394	382, 393	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) ` u ) - C ) ) <_ E <-> ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) ) <_ E ) )
395	394	rexbiia 3040	. . . . . . . . . 10 |- ( E. u e. ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) ` u ) - C ) ) <_ E <-> E. u e. ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ( abs ` ( ( ( ( F ` X ) - ( F ` u ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` u ) ) ) - C ) ) <_ E )
396	378, 395	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A e. v ) ) -> E. u e. ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) ` u ) - C ) ) <_ E )
397		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) e. _V
398	397, 388	fnmpti 6022	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) Fn ( A (,) X )
399		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) ` u ) -> ( x - C ) = ( ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) ` u ) - C ) )
400	399	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) ` u ) -> ( abs ` ( x - C ) ) = ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) ` u ) - C ) ) )
401	400	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) ` u ) -> ( ( abs ` ( x - C ) ) <_ E <-> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) ` u ) - C ) ) <_ E ) )
402	401	rexima 6497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) Fn ( A (,) X ) /\ ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) C_ ( A (,) X ) ) -> ( E. x e. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) ( abs ` ( x - C ) ) <_ E <-> E. u e. ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) ` u ) - C ) ) <_ E ) )
403	398, 381, 402	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) ( abs ` ( x - C ) ) <_ E <-> E. u e. ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) ` u ) - C ) ) <_ E )
404	396, 403	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A e. v ) ) -> E. x e. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) ( abs ` ( x - C ) ) <_ E )
405		dfrex2 2996	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) ( abs ` ( x - C ) ) <_ E <-> -. A. x e. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E )
406	404, 405	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A e. v ) ) -> -. A. x e. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E )
407		ssrab 3680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } <-> ( ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ CC /\ A. x e. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E ) )
408	407	simprbi 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } -> A. x e. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E )
409	406, 408	nsyl 135	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ A e. v ) ) -> -. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } )
410	409	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> ( A e. v -> -. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } ) )
411	410	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( A e. v -> -. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } ) )
412		ralinexa 2997	. . . 4 |- ( A. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( A e. v -> -. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } ) <-> -. E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( A e. v /\ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } ) )
413	411, 412	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> -. E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( A e. v /\ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } ) )
414		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) -> ( x - C ) = ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) - C ) )
415	414	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) -> ( abs ` ( x - C ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) - C ) ) )
416	415	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) -> ( ( abs ` ( x - C ) ) <_ E <-> ( abs ` ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) - C ) ) <_ E ) )
417	416	notbid 308	. . . . . 6 |- ( x = ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) -> ( -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E <-> -. ( abs ` ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) - C ) ) <_ E ) )
418	417	elrab3 3364	. . . . 5 |- ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) e. CC -> ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) e. { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } <-> -. ( abs ` ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) - C ) ) <_ E ) )
419	22, 418	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) e. { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } <-> -. ( abs ` ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) - C ) ) <_ E ) )
420		notrab 3904	. . . . . 6 |- ( CC \ { x e. CC | ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } ) = { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E }
421	61	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. CC /\ x e. CC ) -> ( C ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( C - x ) ) )
422		abssub 14066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. CC /\ x e. CC ) -> ( abs ` ( C - x ) ) = ( abs ` ( x - C ) ) )
423	421, 422	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ x e. CC ) -> ( C ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( x - C ) ) )
424	25, 423	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( C ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( x - C ) ) )
425	424	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( C ( abs o. - ) x ) <_ E <-> ( abs ` ( x - C ) ) <_ E ) )
426	425	rabbidva 3188	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x e. CC | ( C ( abs o. - ) x ) <_ E } = { x e. CC | ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } )
427	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
428	29	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. RR* )
429		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- { x e. CC | ( C ( abs o. - ) x ) <_ E } = { x e. CC | ( C ( abs o. - ) x ) <_ E }
430	48, 429	blcld 22310	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ C e. CC /\ E e. RR* ) -> { x e. CC | ( C ( abs o. - ) x ) <_ E } e. ( Clsd ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
431	427, 25, 428, 430	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x e. CC | ( C ( abs o. - ) x ) <_ E } e. ( Clsd ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
432	426, 431	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. CC | ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } e. ( Clsd ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
433	47	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
434	433	toponunii 20721	. . . . . . . 8 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
435	434	cldopn 20835	. . . . . . 7 |- ( { x e. CC | ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } e. ( Clsd ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> ( CC \ { x e. CC | ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
436	432, 435	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( CC \ { x e. CC | ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
437	420, 436	syl5eqelr 2706	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
438	9	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( F ` X ) e. CC )
439	1	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` z ) e. RR )
440	121, 439	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( F ` z ) e. RR )
441	440	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
442	438, 441	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) e. CC )
443	120, 124	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) e. CC )
444		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) e. CC /\ ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) =/= 0 ) )
445	443, 213, 444	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) e. ( CC \ { 0 } ) )
446		ssid 3624	. . . . . . . . 9 |- CC C_ CC
447	446	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> CC C_ CC )
448		difss 3737	. . . . . . . . 9 |- ( CC \ { 0 } ) C_ CC
449	448	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
450		cnex 10017	. . . . . . . . . 10 |- CC e. _V
451	450, 448	ssexi 4803	. . . . . . . . . 10 |- ( CC \ { 0 } ) e. _V
452		txrest 21434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) ) /\ ( CC e. _V /\ ( CC \ { 0 } ) e. _V ) ) -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) ↾t ( CC X. ( CC \ { 0 } ) ) ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) tX ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( CC \ { 0 } ) ) ) )
453	433, 433, 450, 451, 452	mp4an 709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) ↾t ( CC X. ( CC \ { 0 } ) ) ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) tX ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( CC \ { 0 } ) ) )
454	434	restid 16094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
455	433, 454	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
456	455	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) tX ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( CC \ { 0 } ) ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( CC \ { 0 } ) ) )
457	453, 456	eqtr2i 2645	. . . . . . . 8 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( CC \ { 0 } ) ) ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) ↾t ( CC X. ( CC \ { 0 } ) ) )
458	9	subid1d 10381	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` X ) - 0 ) = ( F ` X ) )
459		txtopon 21394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
460	433, 433, 459	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
461	460	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( CC X. CC ) = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) )
462	461	restid 16094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) ↾t ( CC X. CC ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
463	460, 462	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) ↾t ( CC X. CC ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) )
464	463	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) ↾t ( CC X. CC ) )
465		limcresi 23649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. RR |-> ( F ` X ) ) lim CC A ) C_ ( ( ( z e. RR |-> ( F ` X ) ) |` ( A (,) X ) ) lim CC A )
466		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A (,) X ) C_ RR
467		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A (,) X ) C_ RR -> ( ( z e. RR |-> ( F ` X ) ) |` ( A (,) X ) ) = ( z e. ( A (,) X ) |-> ( F ` X ) ) )
468	466, 467	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. RR |-> ( F ` X ) ) |` ( A (,) X ) ) = ( z e. ( A (,) X ) |-> ( F ` X ) )
469	468	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. RR |-> ( F ` X ) ) |` ( A (,) X ) ) lim CC A ) = ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( F ` X ) ) lim CC A )
470	465, 469	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. RR |-> ( F ` X ) ) lim CC A ) C_ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( F ` X ) ) lim CC A )
471		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` X ) e. RR /\ RR C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( z e. RR |-> ( F ` X ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
472	8, 144, 144, 471	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. RR |-> ( F ` X ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
473		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = A -> ( F ` X ) = ( F ` X ) )
474	472, 40, 473	cnmptlimc 23654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` X ) e. ( ( z e. RR |-> ( F ` X ) ) lim CC A ) )
475	470, 474	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` X ) e. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( F ` X ) ) lim CC A ) )
476		limcresi 23649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F lim CC A ) C_ ( ( F |` ( A (,) X ) ) lim CC A )
477	1, 107	feqresmpt 6250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F |` ( A (,) X ) ) = ( z e. ( A (,) X ) |-> ( F ` z ) ) )
478	477	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F |` ( A (,) X ) ) lim CC A ) = ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( F ` z ) ) lim CC A ) )
479	476, 478	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F lim CC A ) C_ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( F ` z ) ) lim CC A ) )
480		lhop1.f0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. ( F lim CC A ) )
481	479, 480	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( F ` z ) ) lim CC A ) )
482	47	subcn 22669	. . . . . . . . . . 11 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
483		0cn 10032	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. CC
484		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` X ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> <. ( F ` X ) , 0 >. e. ( CC X. CC ) )
485	9, 483, 484	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> <. ( F ` X ) , 0 >. e. ( CC X. CC ) )
486	461	cncnpi 21082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) /\ <. ( F ` X ) , 0 >. e. ( CC X. CC ) ) -> - e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` <. ( F ` X ) , 0 >. ) )
487	482, 485, 486	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> - e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` <. ( F ` X ) , 0 >. ) )
488	438, 441, 447, 447, 47, 464, 475, 481, 487	limccnp2 23656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` X ) - 0 ) e. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) ) lim CC A ) )
489	458, 488	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` X ) e. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) ) lim CC A ) )
490	12	subid1d 10381	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ` X ) - 0 ) = ( G ` X ) )
491		limcresi 23649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. RR |-> ( G ` X ) ) lim CC A ) C_ ( ( ( z e. RR |-> ( G ` X ) ) |` ( A (,) X ) ) lim CC A )
492		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A (,) X ) C_ RR -> ( ( z e. RR |-> ( G ` X ) ) |` ( A (,) X ) ) = ( z e. ( A (,) X ) |-> ( G ` X ) ) )
493	466, 492	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. RR |-> ( G ` X ) ) |` ( A (,) X ) ) = ( z e. ( A (,) X ) |-> ( G ` X ) )
494	493	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. RR |-> ( G ` X ) ) |` ( A (,) X ) ) lim CC A ) = ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( G ` X ) ) lim CC A )
495	491, 494	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. RR |-> ( G ` X ) ) lim CC A ) C_ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( G ` X ) ) lim CC A )
496		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G ` X ) e. RR /\ RR C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( z e. RR |-> ( G ` X ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
497	11, 144, 144, 496	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. RR |-> ( G ` X ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
498		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = A -> ( G ` X ) = ( G ` X ) )
499	497, 40, 498	cnmptlimc 23654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G ` X ) e. ( ( z e. RR |-> ( G ` X ) ) lim CC A ) )
500	495, 499	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ` X ) e. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( G ` X ) ) lim CC A ) )
501		limcresi 23649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G lim CC A ) C_ ( ( G |` ( A (,) X ) ) lim CC A )
502	10, 107	feqresmpt 6250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G |` ( A (,) X ) ) = ( z e. ( A (,) X ) |-> ( G ` z ) ) )
503	502	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( G |` ( A (,) X ) ) lim CC A ) = ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( G ` z ) ) lim CC A ) )
504	501, 503	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G lim CC A ) C_ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( G ` z ) ) lim CC A ) )
505		lhop1.g0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. ( G lim CC A ) )
506	504, 505	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( G ` z ) ) lim CC A ) )
507		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G ` X ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> <. ( G ` X ) , 0 >. e. ( CC X. CC ) )
508	12, 483, 507	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> <. ( G ` X ) , 0 >. e. ( CC X. CC ) )
509	461	cncnpi 21082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) /\ <. ( G ` X ) , 0 >. e. ( CC X. CC ) ) -> - e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` <. ( G ` X ) , 0 >. ) )
510	482, 508, 509	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> - e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` <. ( G ` X ) , 0 >. ) )
511	120, 124, 447, 447, 47, 464, 500, 506, 510	limccnp2 23656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ` X ) - 0 ) e. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) lim CC A ) )
512	490, 511	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` X ) e. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) lim CC A ) )
513		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( CC \ { 0 } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( CC \ { 0 } ) )
514	47, 513	divcn 22671	. . . . . . . . 9 |- / e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( CC \ { 0 } ) ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
515		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` X ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( ( G ` X ) e. CC /\ ( G ` X ) =/= 0 ) )
516	12, 21, 515	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ` X ) e. ( CC \ { 0 } ) )
517		opelxpi 5148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` X ) e. CC /\ ( G ` X ) e. ( CC \ { 0 } ) ) -> <. ( F ` X ) , ( G ` X ) >. e. ( CC X. ( CC \ { 0 } ) ) )
518	9, 516, 517	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> <. ( F ` X ) , ( G ` X ) >. e. ( CC X. ( CC \ { 0 } ) ) )
519		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ( CC \ { 0 } ) C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( CC \ { 0 } ) ) e. (TopOn ` ( CC \ { 0 } ) ) )
520	433, 448, 519	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( CC \ { 0 } ) ) e. (TopOn ` ( CC \ { 0 } ) )
521		txtopon 21394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( CC \ { 0 } ) ) e. (TopOn ` ( CC \ { 0 } ) ) ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( CC \ { 0 } ) ) ) e. (TopOn ` ( CC X. ( CC \ { 0 } ) ) ) )
522	433, 520, 521	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( CC \ { 0 } ) ) ) e. (TopOn ` ( CC X. ( CC \ { 0 } ) ) )
523	522	toponunii 20721	. . . . . . . . . 10 |- ( CC X. ( CC \ { 0 } ) ) = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( CC \ { 0 } ) ) )
524	523	cncnpi 21082	. . . . . . . . 9 |- ( ( / e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( CC \ { 0 } ) ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) /\ <. ( F ` X ) , ( G ` X ) >. e. ( CC X. ( CC \ { 0 } ) ) ) -> / e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( CC \ { 0 } ) ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` <. ( F ` X ) , ( G ` X ) >. ) )
525	514, 518, 524	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> / e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( CC \ { 0 } ) ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` <. ( F ` X ) , ( G ` X ) >. ) )
526	442, 445, 447, 449, 47, 457, 489, 512, 525	limccnp2 23656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) e. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) lim CC A ) )
527	442, 443, 213	divcld 10801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) X ) ) -> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) e. CC )
528	527, 388	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) : ( A (,) X ) --> CC )
529	466, 143	sstri 3612	. . . . . . . . 9 |- ( A (,) X ) C_ CC
530	529	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A (,) X ) C_ CC )
531	528, 530, 59, 47	ellimc2 23641	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) e. ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) lim CC A ) <-> ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) e. CC /\ A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( A e. v /\ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )
532	526, 531	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) e. CC /\ A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( A e. v /\ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ u ) ) ) )
533	532	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( A e. v /\ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ u ) ) )
534		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( u = { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } -> ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) e. u <-> ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) e. { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } ) )
535		sseq2 3627	. . . . . . . . 9 |- ( u = { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } -> ( ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ u <-> ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } ) )
536	535	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( u = { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } -> ( ( A e. v /\ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ u ) <-> ( A e. v /\ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } ) ) )
537	536	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( u = { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } -> ( E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( A e. v /\ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ u ) <-> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( A e. v /\ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } ) ) )
538	534, 537	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( u = { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } -> ( ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( A e. v /\ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ u ) ) <-> ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) e. { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( A e. v /\ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } ) ) ) )
539	538	rspcv 3305	. . . . 5 |- ( { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } e. ( TopOpen ` ℂfld ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( A e. v /\ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ u ) ) -> ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) e. { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( A e. v /\ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } ) ) ) )
540	437, 533, 539	sylc 65	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) e. { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( A e. v /\ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } ) ) )
541	419, 540	sylbird 250	. . 3 |- ( ph -> ( -. ( abs ` ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) - C ) ) <_ E -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( A e. v /\ ( ( z e. ( A (,) X ) |-> ( ( ( F ` X ) - ( F ` z ) ) / ( ( G ` X ) - ( G ` z ) ) ) ) " ( v i^i ( ( A (,) X ) \ { A } ) ) ) C_ { x e. CC | -. ( abs ` ( x - C ) ) <_ E } ) ) )
542	413, 541	mt3d 140	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) - C ) ) <_ E )
543	29	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> E e. CC )
544	543	mulid2d 10058	. . 3 |- ( ph -> ( 1 x. E ) = E )
545		1red 10055	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
546		1lt2 11194	. . . . 5 |- 1 < 2
547	546	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 1 < 2 )
548	545, 31, 28, 547	ltmul1dd 11927	. . 3 |- ( ph -> ( 1 x. E ) < ( 2 x. E ) )
549	544, 548	eqbrtrrd 4677	. 2 |- ( ph -> E < ( 2 x. E ) )
550	27, 29, 32, 542, 549	lelttrd 10195	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( F ` X ) / ( G ` X ) ) - C ) ) < ( 2 x. E ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   abscabs 13974   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733  ℂ_fldccnfld 19746  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   intcnt 20821   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   tX ctx 21363   -cn->ccncf 22679   lim CC climc 23626   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  lhop1  23777