Theorem cxpcn3 24489

Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpcn3.d	|- D = ( `' Re " RR+ )
cxpcn3.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
cxpcn3.k	|- K = ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) )
cxpcn3.l	|- L = ( J ↾t D )

Assertion

Ref	Expression
cxpcn3	|- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, D, y

Allowed substitution hints:   K( x, y)   L( x, y)

Proof of Theorem cxpcn3

Dummy variables a b d e u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 12280	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
2		ax-resscn 9993	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
3	1, 2	sstri 3612	. . . . . 6 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
4	3	sseli 3599	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) -> x e. CC )
5		cxpcn3.d	. . . . . . 7 |- D = ( `' Re " RR+ )
6		cnvimass 5485	. . . . . . . 8 |- ( `' Re " RR+ ) C_ dom Re
7		ref 13852	. . . . . . . . 9 |- Re : CC --> RR
8	7	fdmi 6052	. . . . . . . 8 |- dom Re = CC
9	6, 8	sseqtri 3637	. . . . . . 7 |- ( `' Re " RR+ ) C_ CC
10	5, 9	eqsstri 3635	. . . . . 6 |- D C_ CC
11	10	sseli 3599	. . . . 5 |- ( y e. D -> y e. CC )
12		cxpcl 24420	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x ^c y ) e. CC )
13	4, 11, 12	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. D ) -> ( x ^c y ) e. CC )
14	13	rgen2 2975	. . 3 |- A. x e. ( 0 [,) +oo ) A. y e. D ( x ^c y ) e. CC
15		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) = ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) )
16	15	fmpt2 7237	. . 3 |- ( A. x e. ( 0 [,) +oo ) A. y e. D ( x ^c y ) e. CC <-> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC )
17	14, 16	mpbi 220	. 2 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC
18		cxpcn3.j	. . . . . . . . . . . . 13 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
19	18	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . 12 |- J e. (TopOn ` CC )
20		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
21		rpge0 11845	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> 0 <_ x )
22		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
23	20, 21, 22	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR+ -> x e. ( 0 [,) +oo ) )
24	23	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR+ C_ ( 0 [,) +oo )
25	24, 3	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- RR+ C_ CC
26		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ RR+ C_ CC ) -> ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ ) )
27	19, 25, 26	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ )
28	27	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . 12 |- RR+ = U. ( J ↾t RR+ )
29	28	restid 16094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ ) -> ( ( J ↾t RR+ ) ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ ) )
30	27, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J ↾t RR+ ) ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ )
31	30	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- ( J ↾t RR+ ) = ( ( J ↾t RR+ ) ↾t RR+ )
32	27	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ ) )
33		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- RR+ C_ RR+
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> RR+ C_ RR+ )
35		cxpcn3.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( J ↾t D )
36	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> J e. (TopOn ` CC ) )
37	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> D C_ CC )
38		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( J ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ )
39	18, 38	cxpcn2 24487	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ , y e. CC |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J ↾t RR+ ) tX J ) Cn J )
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. RR+ , y e. CC |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J ↾t RR+ ) tX J ) Cn J ) )
41	31, 32, 34, 35, 36, 37, 40	cnmpt2res 21480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) Cn J ) )
42		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( u e. RR /\ 0 <_ u ) )
43	42	simplbi 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( 0 [,) +oo ) -> u e. RR )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> u e. RR )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> u e. RR )
46		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> 0 < u )
47	45, 46	elrpd 11869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> u e. RR+ )
48		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> v e. D )
49		opelxp 5146	. . . . . . . . 9 |- ( <. u , v >. e. ( RR+ X. D ) <-> ( u e. RR+ /\ v e. D ) )
50	47, 48, 49	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> <. u , v >. e. ( RR+ X. D ) )
51		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( J ↾t D ) e. (TopOn ` D ) )
52	19, 10, 51	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J ↾t D ) e. (TopOn ` D )
53	35, 52	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- L e. (TopOn ` D )
54		txtopon 21394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ ) /\ L e. (TopOn ` D ) ) -> ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) e. (TopOn ` ( RR+ X. D ) ) )
55	27, 53, 54	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) e. (TopOn ` ( RR+ X. D ) )
56	55	toponunii 20721	. . . . . . . . 9 |- ( RR+ X. D ) = U. ( ( J ↾t RR+ ) tX L )
57	56	cncnpi 21082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) Cn J ) /\ <. u , v >. e. ( RR+ X. D ) ) -> ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
58	41, 50, 57	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
59		ssid 3624	. . . . . . . 8 |- D C_ D
60		resmpt2 6758	. . . . . . . 8 |- ( ( RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ D C_ D ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) = ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) )
61	24, 59, 60	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) = ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) )
62		cxpcn3.k	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) )
63		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ CC ) -> ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) )
64	19, 3, 63	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) )
65	62, 64	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- K e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) )
66		ioorp 12251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
67		iooretop 22569	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) )
68	66, 67	eqeltrri 2698	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR+ e. ( topGen ` ran (,) )
69		retop 22565	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
70		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 [,) +oo ) e. _V
71		restopnb 20979	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( 0 [,) +oo ) e. _V ) /\ ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) /\ RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ RR+ C_ RR+ ) ) -> ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) <-> RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ) )
72	69, 70, 71	mpanl12 718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) /\ RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ RR+ C_ RR+ ) -> ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) <-> RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ) )
73	68, 24, 33, 72	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) <-> RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) ) )
74	68, 73	mpbi 220	. . . . . . . . . . . 12 |- RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) )
75		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
76	18, 75	rerest 22607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 [,) +oo ) C_ RR -> ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) ) )
77	1, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) )
78	62, 77	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) )
79	74, 78	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . 11 |- RR+ e. K
80		toponmax 20730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. (TopOn ` D ) -> D e. L )
81	53, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- D e. L
82		txrest 21434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ L e. (TopOn ` D ) ) /\ ( RR+ e. K /\ D e. L ) ) -> ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) = ( ( K ↾t RR+ ) tX ( L ↾t D ) ) )
83	65, 53, 79, 81, 82	mp4an 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) = ( ( K ↾t RR+ ) tX ( L ↾t D ) )
84	62	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K ↾t RR+ ) = ( ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ↾t RR+ )
85		restabs 20969	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) e. _V ) -> ( ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ ) )
86	19, 24, 70, 85	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ )
87	84, 86	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- ( K ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ )
88	53	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . . 13 |- D = U. L
89	88	restid 16094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. (TopOn ` D ) -> ( L ↾t D ) = L )
90	53, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( L ↾t D ) = L
91	87, 90	oveq12i 6662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K ↾t RR+ ) tX ( L ↾t D ) ) = ( ( J ↾t RR+ ) tX L )
92	83, 91	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) = ( ( J ↾t RR+ ) tX L )
93	92	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) = ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) CnP J )
94	93	fveq1i 6192	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) = ( ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. )
95	58, 61, 94	3eltr4g 2718	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) e. ( ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
96		txtopon 21394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ L e. (TopOn ` D ) ) -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ) )
97	65, 53, 96	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( K tX L ) e. (TopOn ` ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) )
98	97	topontopi 20720	. . . . . . . 8 |- ( K tX L ) e. Top
99	98	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( K tX L ) e. Top )
100		xpss1 5228	. . . . . . . 8 |- ( RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) -> ( RR+ X. D ) C_ ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) )
101	24, 100	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( RR+ X. D ) C_ ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) )
102		txopn 21405	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ L e. (TopOn ` D ) ) /\ ( RR+ e. K /\ D e. L ) ) -> ( RR+ X. D ) e. ( K tX L ) )
103	65, 53, 79, 81, 102	mp4an 709	. . . . . . . . 9 |- ( RR+ X. D ) e. ( K tX L )
104		isopn3i 20886	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K tX L ) e. Top /\ ( RR+ X. D ) e. ( K tX L ) ) -> ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) = ( RR+ X. D ) )
105	98, 103, 104	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) = ( RR+ X. D )
106	50, 105	syl6eleqr 2712	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> <. u , v >. e. ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) )
107	17	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC )
108	65	topontopi 20720	. . . . . . . . 9 |- K e. Top
109	53	topontopi 20720	. . . . . . . . 9 |- L e. Top
110	65	toponunii 20721	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,) +oo ) = U. K
111	108, 109, 110, 88	txunii 21396	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) = U. ( K tX L )
112	19	toponunii 20721	. . . . . . . 8 |- CC = U. J
113	111, 112	cnprest 21093	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K tX L ) e. Top /\ ( RR+ X. D ) C_ ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ) /\ ( <. u , v >. e. ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC ) ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) e. ( ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) )
114	99, 101, 106, 107, 113	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) e. ( ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) )
115	95, 114	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
116	17	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( v e. D -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC )
117		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) = ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 )
118		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) <_ ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) , ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) , ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) ) = if ( ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) <_ ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) , ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) , ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) )
119	5, 18, 62, 35, 117, 118	cxpcn3lem 24488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. D /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) )
120	119	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) )
121		0e0icopnf 12282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
123		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> a e. ( 0 [,) +oo ) )
124	122, 123	ovresd 6801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) = ( 0 ( abs o. - ) a ) )
125		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. CC
126	3, 123	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> a e. CC )
127		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
128	127	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. CC /\ a e. CC ) -> ( 0 ( abs o. - ) a ) = ( abs ` ( 0 - a ) ) )
129	125, 126, 128	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( abs o. - ) a ) = ( abs ` ( 0 - a ) ) )
130		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u a = ( 0 - a )
131	130	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( abs ` -u a ) = ( abs ` ( 0 - a ) )
132	126	absnegd 14188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` -u a ) = ( abs ` a ) )
133	131, 132	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` ( 0 - a ) ) = ( abs ` a ) )
134	124, 129, 133	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) = ( abs ` a ) )
135	134	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d <-> ( abs ` a ) < d ) )
136		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> v e. D )
137		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> b e. D )
138	136, 137	ovresd 6801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) = ( v ( abs o. - ) b ) )
139	10, 136	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> v e. CC )
140	10, 137	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> b e. CC )
141	127	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. CC /\ b e. CC ) -> ( v ( abs o. - ) b ) = ( abs ` ( v - b ) ) )
142	139, 140, 141	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( v ( abs o. - ) b ) = ( abs ` ( v - b ) ) )
143	138, 142	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) = ( abs ` ( v - b ) ) )
144	143	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d <-> ( abs ` ( v - b ) ) < d ) )
145	135, 144	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) <-> ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) ) )
146		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = 0 /\ y = v ) -> ( x ^c y ) = ( 0 ^c v ) )
147		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 ^c v ) e. _V
148	146, 15, 147	ovmpt2a 6791	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) = ( 0 ^c v ) )
149	121, 136, 148	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) = ( 0 ^c v ) )
150	5	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. D <-> v e. ( `' Re " RR+ ) )
151		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Re : CC --> RR -> Re Fn CC )
152		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Re Fn CC -> ( v e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( v e. CC /\ ( Re ` v ) e. RR+ ) ) )
153	7, 151, 152	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( v e. CC /\ ( Re ` v ) e. RR+ ) )
154	150, 153	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. D <-> ( v e. CC /\ ( Re ` v ) e. RR+ ) )
155	154	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v e. D -> v e. CC )
156	154	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. D -> ( Re ` v ) e. RR+ )
157	156	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. D -> ( Re ` v ) =/= 0 )
158		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = 0 -> ( Re ` v ) = ( Re ` 0 ) )
159		re0 13892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Re ` 0 ) = 0
160	158, 159	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = 0 -> ( Re ` v ) = 0 )
161	160	necon3i 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Re ` v ) =/= 0 -> v =/= 0 )
162	157, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v e. D -> v =/= 0 )
163	155, 162	0cxpd 24456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. D -> ( 0 ^c v ) = 0 )
164	163	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ^c v ) = 0 )
165	149, 164	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) = 0 )
166		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( x ^c y ) = ( a ^c b ) )
167		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a ^c b ) e. _V
168	166, 15, 167	ovmpt2a 6791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) -> ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) = ( a ^c b ) )
169	168	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) = ( a ^c b ) )
170	165, 169	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) = ( 0 ( abs o. - ) ( a ^c b ) ) )
171	126, 140	cxpcld 24454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( a ^c b ) e. CC )
172	127	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. CC /\ ( a ^c b ) e. CC ) -> ( 0 ( abs o. - ) ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) ) )
173	125, 171, 172	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( abs o. - ) ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) ) )
174		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -u ( a ^c b ) = ( 0 - ( a ^c b ) )
175	174	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( abs ` -u ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) )
176	171	absnegd 14188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` -u ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( a ^c b ) ) )
177	175, 176	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) ) = ( abs ` ( a ^c b ) ) )
178	170, 173, 177	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) = ( abs ` ( a ^c b ) ) )
179	178	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e <-> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) )
180	145, 179	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) )
181	180	2ralbidva 2988	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. D -> ( A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) )
182	181	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. D -> ( E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) )
183	182	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) )
184	120, 183	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( v e. D -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) )
185		cnxmet 22576	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
186	185	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. D -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
187		xmetres2 22166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) e. ( *Met ` ( 0 [,) +oo ) ) )
188	186, 3, 187	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) e. ( *Met ` ( 0 [,) +oo ) ) )
189		xmetres2 22166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) )
190	186, 10, 189	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) )
191	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
192		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> v e. D )
193		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) )
194	18	cnfldtopn 22585	. . . . . . . . . . . . 13 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
195		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
196	193, 194, 195	metrest 22329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ CC ) -> ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) ) )
197	185, 3, 196	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
198	62, 197	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
199		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) )
200		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) )
201	199, 194, 200	metrest 22329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( J ↾t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
202	185, 10, 201	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( J ↾t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) )
203	35, 202	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- L = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) )
204	198, 203, 194	txmetcnp 22352	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) e. ( *Met ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) /\ ( 0 e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) ) ) )
205	188, 190, 186, 191, 192, 204	syl32anc 1334	. . . . . . . 8 |- ( v e. D -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) ) ) )
206	116, 184, 205	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( v e. D -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) )
207	206	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) )
208		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> 0 = u )
209	208	opeq1d 4408	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> <. 0 , v >. = <. u , v >. )
210	209	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) = ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
211	207, 210	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
212	42	simprbi 480	. . . . . . 7 |- ( u e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ u )
213	212	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> 0 <_ u )
214		0re 10040	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
215		leloe 10124	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ u e. RR ) -> ( 0 <_ u <-> ( 0 < u \/ 0 = u ) ) )
216	214, 44, 215	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( 0 <_ u <-> ( 0 < u \/ 0 = u ) ) )
217	213, 216	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( 0 < u \/ 0 = u ) )
218	115, 211, 217	mpjaodan 827	. . . 4 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
219	218	rgen2 2975	. . 3 |- A. u e. ( 0 [,) +oo ) A. v e. D ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. )
220		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) = ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
221	220	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) <-> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) )
222	221	ralxp 5263	. . 3 |- ( A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) <-> A. u e. ( 0 [,) +oo ) A. v e. D ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
223	219, 222	mpbir 221	. 2 |- A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z )
224		cncnp 21084	. . 3 |- ( ( ( K tX L ) e. (TopOn ` ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) ) ) )
225	97, 19, 224	mp2an 708	. 2 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) ) )
226	17, 223, 225	mpbir2an 955	1 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   Recre 13837   abscabs 13974   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   tX ctx 21363   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  resqrtcn  24490