Theorem elunop2 28872

Description: An operator is unitary iff it is linear, onto, and idempotent in the norm. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73, and its converse. (Contributed by NM, 24-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elunop2	|- ( T e. UniOp <-> ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) )

Distinct variable group:   x, T

Proof of Theorem elunop2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unoplin 28779	. . 3 |- ( T e. UniOp -> T e. LinOp )
2		elunop 28731	. . . 4 |- ( T e. UniOp <-> ( T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) = ( x .ih y ) ) )
3	2	simplbi 476	. . 3 |- ( T e. UniOp -> T : ~H -onto-> ~H )
4		unopnorm 28776	. . . 4 |- ( ( T e. UniOp /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) )
5	4	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( T e. UniOp -> A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) )
6	1, 3, 5	3jca 1242	. 2 |- ( T e. UniOp -> ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) )
7		eleq1 2689	. . 3 |- ( T = if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) -> ( T e. UniOp <-> if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) e. UniOp ) )
8		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( T = if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) -> ( T e. LinOp <-> if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) e. LinOp ) )
9		foeq1 6111	. . . . . . 7 |- ( T = if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) -> ( T : ~H -onto-> ~H <-> if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) : ~H -onto-> ~H ) )
10		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( T ` x ) = ( T ` y ) )
11	10	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` ( T ` y ) ) )
12		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( normh ` x ) = ( normh ` y ) )
13	11, 12	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) <-> ( normh ` ( T ` y ) ) = ( normh ` y ) ) )
14	13	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) <-> A. y e. ~H ( normh ` ( T ` y ) ) = ( normh ` y ) )
15		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( T = if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) -> ( T ` y ) = ( if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) ` y ) )
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( T = if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) -> ( normh ` ( T ` y ) ) = ( normh ` ( if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) ` y ) ) )
17	16	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( T = if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) -> ( ( normh ` ( T ` y ) ) = ( normh ` y ) <-> ( normh ` ( if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) ` y ) ) = ( normh ` y ) ) )
18	17	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( T = if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) -> ( A. y e. ~H ( normh ` ( T ` y ) ) = ( normh ` y ) <-> A. y e. ~H ( normh ` ( if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) ` y ) ) = ( normh ` y ) ) )
19	14, 18	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( T = if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) -> ( A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) <-> A. y e. ~H ( normh ` ( if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) ` y ) ) = ( normh ` y ) ) )
20	8, 9, 19	3anbi123d 1399	. . . . . 6 |- ( T = if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) -> ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) <-> ( if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) e. LinOp /\ if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) : ~H -onto-> ~H /\ A. y e. ~H ( normh ` ( if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) ` y ) ) = ( normh ` y ) ) ) )
21		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( ( _I |` ~H ) = if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) -> ( ( _I |` ~H ) e. LinOp <-> if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) e. LinOp ) )
22		foeq1 6111	. . . . . . 7 |- ( ( _I |` ~H ) = if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) -> ( ( _I |` ~H ) : ~H -onto-> ~H <-> if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) : ~H -onto-> ~H ) )
23		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _I |` ~H ) = if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) -> ( ( _I |` ~H ) ` y ) = ( if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) ` y ) )
24	23	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` ~H ) = if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) -> ( normh ` ( ( _I |` ~H ) ` y ) ) = ( normh ` ( if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) ` y ) ) )
25	24	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` ~H ) = if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) -> ( ( normh ` ( ( _I |` ~H ) ` y ) ) = ( normh ` y ) <-> ( normh ` ( if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) ` y ) ) = ( normh ` y ) ) )
26	25	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( ( _I |` ~H ) = if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) -> ( A. y e. ~H ( normh ` ( ( _I |` ~H ) ` y ) ) = ( normh ` y ) <-> A. y e. ~H ( normh ` ( if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) ` y ) ) = ( normh ` y ) ) )
27	21, 22, 26	3anbi123d 1399	. . . . . 6 |- ( ( _I |` ~H ) = if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) -> ( ( ( _I |` ~H ) e. LinOp /\ ( _I |` ~H ) : ~H -onto-> ~H /\ A. y e. ~H ( normh ` ( ( _I |` ~H ) ` y ) ) = ( normh ` y ) ) <-> ( if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) e. LinOp /\ if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) : ~H -onto-> ~H /\ A. y e. ~H ( normh ` ( if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) ` y ) ) = ( normh ` y ) ) ) )
28		idlnop 28851	. . . . . . 7 |- ( _I |` ~H ) e. LinOp
29		f1oi 6174	. . . . . . . 8 |- ( _I |` ~H ) : ~H -1-1-onto-> ~H
30		f1ofo 6144	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` ~H ) : ~H -1-1-onto-> ~H -> ( _I |` ~H ) : ~H -onto-> ~H )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( _I |` ~H ) : ~H -onto-> ~H
32		fvresi 6439	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~H -> ( ( _I |` ~H ) ` y ) = y )
33	32	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~H -> ( normh ` ( ( _I |` ~H ) ` y ) ) = ( normh ` y ) )
34	33	rgen 2922	. . . . . . 7 |- A. y e. ~H ( normh ` ( ( _I |` ~H ) ` y ) ) = ( normh ` y )
35	28, 31, 34	3pm3.2i 1239	. . . . . 6 |- ( ( _I |` ~H ) e. LinOp /\ ( _I |` ~H ) : ~H -onto-> ~H /\ A. y e. ~H ( normh ` ( ( _I |` ~H ) ` y ) ) = ( normh ` y ) )
36	20, 27, 35	elimhyp 4146	. . . . 5 |- ( if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) e. LinOp /\ if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) : ~H -onto-> ~H /\ A. y e. ~H ( normh ` ( if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) ` y ) ) = ( normh ` y ) )
37	36	simp1i 1070	. . . 4 |- if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) e. LinOp
38	36	simp2i 1071	. . . 4 |- if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) : ~H -onto-> ~H
39	36	simp3i 1072	. . . 4 |- A. y e. ~H ( normh ` ( if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) ` y ) ) = ( normh ` y )
40	37, 38, 39	lnopunii 28871	. . 3 |- if ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) , T , ( _I |` ~H ) ) e. UniOp
41	7, 40	dedth 4139	. 2 |- ( ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) -> T e. UniOp )
42	6, 41	impbii 199	1 |- ( T e. UniOp <-> ( T e. LinOp /\ T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ifcif 4086   _I cid 5023   |` cres 5116   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~Hchil 27776   .ih csp 27779   normhcno 27780   LinOpclo 27804   UniOpcuo 27806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828  df-lnop 28700  df-unop 28702

This theorem is referenced by: (None)