Theorem mulneg1d 10483

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
mulnegd.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	|- ( ph -> ( -u A x. B ) = -u ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		mulneg1 10466	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. B ) = -u ( A x. B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( -u A x. B ) = -u ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   x. cmul 9941   -ucneg 10267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  divsubdiv  10741  recgt0  10867  xmulneg1  12099  expmulz  12906  discr1  13000  iseraltlem3  14414  incexclem  14568  incexc  14569  mulgass  17579  cphipval  23042  mbfmulc2lem  23414  mbfmulc2  23430  itg2monolem1  23517  itgmulc2  23600  dvrecg  23736  dvmptdiv  23737  dvexp3  23741  dvfsumlem2  23790  aaliou3lem2  24098  advlogexp  24401  logtayl2  24408  dcubic2  24571  dcubic  24573  ftalem5  24803  lgsdilem  25049  2sqlem4  25146  pntrsumo1  25254  pntrlog2bndlem4  25269  brbtwn2  25785  colinearalglem4  25789  axeuclidlem  25842  logdivsqrle  30728  fwddifnp1  32272  itgmulc2nc  33478  pellexlem6  37398  jm2.19lem1  37556  jm2.19lem4  37559  jm2.19  37560  binomcxplemnotnn0  38555  sineq0ALT  39173  mulltgt0  39181  fperiodmul  39518  cosknegpi  40080  itgsinexplem1  40169  stoweidlem13  40230  stoweidlem42  40259  fourierdlem39  40363  fourierdlem41  40365  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem64  40387  etransclem46  40497