Theorem xpsfrnel2 16225

Description: Elementhood in the target space of the function F appearing in xpsval 16232. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsfrnel2	|- ( `' ( { X } +c { Y } ) e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, X   k, Y

Proof of Theorem xpsfrnel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsfrnel 16223	. 2 |- ( `' ( { X } +c { Y } ) e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) <-> ( `' ( { X } +c { Y } ) Fn 2o /\ ( `' ( { X } +c { Y } ) ` (/) ) e. A /\ ( `' ( { X } +c { Y } ) ` 1o ) e. B ) )
2		0ex 4790	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
3	2	prid1 4297	. . . . . . . . 9 |- (/) e. { (/) , 1o }
4		df2o3 7573	. . . . . . . . 9 |- 2o = { (/) , 1o }
5	3, 4	eleqtrri 2700	. . . . . . . 8 |- (/) e. 2o
6		fndm 5990	. . . . . . . 8 |- ( `' ( { X } +c { Y } ) Fn 2o -> dom `' ( { X } +c { Y } ) = 2o )
7	5, 6	syl5eleqr 2708	. . . . . . 7 |- ( `' ( { X } +c { Y } ) Fn 2o -> (/) e. dom `' ( { X } +c { Y } ) )
8		xpsc 16217	. . . . . . . . 9 |- `' ( { X } +c { Y } ) = ( ( { (/) } X. { X } ) u. ( { 1o } X. { Y } ) )
9	8	dmeqi 5325	. . . . . . . 8 |- dom `' ( { X } +c { Y } ) = dom ( ( { (/) } X. { X } ) u. ( { 1o } X. { Y } ) )
10		dmun 5331	. . . . . . . 8 |- dom ( ( { (/) } X. { X } ) u. ( { 1o } X. { Y } ) ) = ( dom ( { (/) } X. { X } ) u. dom ( { 1o } X. { Y } ) )
11	9, 10	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- dom `' ( { X } +c { Y } ) = ( dom ( { (/) } X. { X } ) u. dom ( { 1o } X. { Y } ) )
12	7, 11	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( `' ( { X } +c { Y } ) Fn 2o -> (/) e. ( dom ( { (/) } X. { X } ) u. dom ( { 1o } X. { Y } ) ) )
13		elun 3753	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ( dom ( { (/) } X. { X } ) u. dom ( { 1o } X. { Y } ) ) <-> ( (/) e. dom ( { (/) } X. { X } ) \/ (/) e. dom ( { 1o } X. { Y } ) ) )
14	2	eldm 5321	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. dom ( { (/) } X. { X } ) <-> E. k (/) ( { (/) } X. { X } ) k )
15		brxp 5147	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) ( { (/) } X. { X } ) k <-> ( (/) e. { (/) } /\ k e. { X } ) )
16		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. { X } -> k = X )
17		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- k e. _V
18	16, 17	syl6eqelr 2710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. { X } -> X e. _V )
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) e. { (/) } /\ k e. { X } ) -> X e. _V )
20	15, 19	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) ( { (/) } X. { X } ) k -> X e. _V )
21	20	exlimiv 1858	. . . . . . . . 9 |- ( E. k (/) ( { (/) } X. { X } ) k -> X e. _V )
22	14, 21	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. dom ( { (/) } X. { X } ) -> X e. _V )
23		dmxpss 5565	. . . . . . . . . 10 |- dom ( { 1o } X. { Y } ) C_ { 1o }
24	23	sseli 3599	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. dom ( { 1o } X. { Y } ) -> (/) e. { 1o } )
25		elsni 4194	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. { 1o } -> (/) = 1o )
26		1n0 7575	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o =/= (/)
27	26	neii 2796	. . . . . . . . . . 11 |- -. 1o = (/)
28	27	pm2.21i 116	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = (/) -> X e. _V )
29	28	eqcoms 2630	. . . . . . . . 9 |- ( (/) = 1o -> X e. _V )
30	24, 25, 29	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. dom ( { 1o } X. { Y } ) -> X e. _V )
31	22, 30	jaoi 394	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. dom ( { (/) } X. { X } ) \/ (/) e. dom ( { 1o } X. { Y } ) ) -> X e. _V )
32	13, 31	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( (/) e. ( dom ( { (/) } X. { X } ) u. dom ( { 1o } X. { Y } ) ) -> X e. _V )
33	12, 32	syl 17	. . . . 5 |- ( `' ( { X } +c { Y } ) Fn 2o -> X e. _V )
34		1on 7567	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. On
35	34	elexi 3213	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. _V
36	35	prid2 4298	. . . . . . . . 9 |- 1o e. { (/) , 1o }
37	36, 4	eleqtrri 2700	. . . . . . . 8 |- 1o e. 2o
38	37, 6	syl5eleqr 2708	. . . . . . 7 |- ( `' ( { X } +c { Y } ) Fn 2o -> 1o e. dom `' ( { X } +c { Y } ) )
39	38, 11	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( `' ( { X } +c { Y } ) Fn 2o -> 1o e. ( dom ( { (/) } X. { X } ) u. dom ( { 1o } X. { Y } ) ) )
40		elun 3753	. . . . . . 7 |- ( 1o e. ( dom ( { (/) } X. { X } ) u. dom ( { 1o } X. { Y } ) ) <-> ( 1o e. dom ( { (/) } X. { X } ) \/ 1o e. dom ( { 1o } X. { Y } ) ) )
41		dmxpss 5565	. . . . . . . . . 10 |- dom ( { (/) } X. { X } ) C_ { (/) }
42	41	sseli 3599	. . . . . . . . 9 |- ( 1o e. dom ( { (/) } X. { X } ) -> 1o e. { (/) } )
43		elsni 4194	. . . . . . . . 9 |- ( 1o e. { (/) } -> 1o = (/) )
44	27	pm2.21i 116	. . . . . . . . 9 |- ( 1o = (/) -> Y e. _V )
45	42, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( 1o e. dom ( { (/) } X. { X } ) -> Y e. _V )
46	35	eldm 5321	. . . . . . . . 9 |- ( 1o e. dom ( { 1o } X. { Y } ) <-> E. k 1o ( { 1o } X. { Y } ) k )
47		brxp 5147	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1o ( { 1o } X. { Y } ) k <-> ( 1o e. { 1o } /\ k e. { Y } ) )
48		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. { Y } -> k = Y )
49	48, 17	syl6eqelr 2710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. { Y } -> Y e. _V )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1o e. { 1o } /\ k e. { Y } ) -> Y e. _V )
51	47, 50	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o ( { 1o } X. { Y } ) k -> Y e. _V )
52	51	exlimiv 1858	. . . . . . . . 9 |- ( E. k 1o ( { 1o } X. { Y } ) k -> Y e. _V )
53	46, 52	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( 1o e. dom ( { 1o } X. { Y } ) -> Y e. _V )
54	45, 53	jaoi 394	. . . . . . 7 |- ( ( 1o e. dom ( { (/) } X. { X } ) \/ 1o e. dom ( { 1o } X. { Y } ) ) -> Y e. _V )
55	40, 54	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( 1o e. ( dom ( { (/) } X. { X } ) u. dom ( { 1o } X. { Y } ) ) -> Y e. _V )
56	39, 55	syl 17	. . . . 5 |- ( `' ( { X } +c { Y } ) Fn 2o -> Y e. _V )
57	33, 56	jca 554	. . . 4 |- ( `' ( { X } +c { Y } ) Fn 2o -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
58	57	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( `' ( { X } +c { Y } ) Fn 2o /\ ( `' ( { X } +c { Y } ) ` (/) ) e. A /\ ( `' ( { X } +c { Y } ) ` 1o ) e. B ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
59		elex 3212	. . . 4 |- ( X e. A -> X e. _V )
60		elex 3212	. . . 4 |- ( Y e. B -> Y e. _V )
61	59, 60	anim12i 590	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
62		3anass 1042	. . . 4 |- ( ( `' ( { X } +c { Y } ) Fn 2o /\ ( `' ( { X } +c { Y } ) ` (/) ) e. A /\ ( `' ( { X } +c { Y } ) ` 1o ) e. B ) <-> ( `' ( { X } +c { Y } ) Fn 2o /\ ( ( `' ( { X } +c { Y } ) ` (/) ) e. A /\ ( `' ( { X } +c { Y } ) ` 1o ) e. B ) ) )
63		xpscfn 16219	. . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> `' ( { X } +c { Y } ) Fn 2o )
64	63	biantrurd 529	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( ( `' ( { X } +c { Y } ) ` (/) ) e. A /\ ( `' ( { X } +c { Y } ) ` 1o ) e. B ) <-> ( `' ( { X } +c { Y } ) Fn 2o /\ ( ( `' ( { X } +c { Y } ) ` (/) ) e. A /\ ( `' ( { X } +c { Y } ) ` 1o ) e. B ) ) ) )
65		xpsc0 16220	. . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ( `' ( { X } +c { Y } ) ` (/) ) = X )
66	65	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( X e. _V -> ( ( `' ( { X } +c { Y } ) ` (/) ) e. A <-> X e. A ) )
67		xpsc1 16221	. . . . . . 7 |- ( Y e. _V -> ( `' ( { X } +c { Y } ) ` 1o ) = Y )
68	67	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( Y e. _V -> ( ( `' ( { X } +c { Y } ) ` 1o ) e. B <-> Y e. B ) )
69	66, 68	bi2anan9 917	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( ( `' ( { X } +c { Y } ) ` (/) ) e. A /\ ( `' ( { X } +c { Y } ) ` 1o ) e. B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) ) )
70	64, 69	bitr3d 270	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( `' ( { X } +c { Y } ) Fn 2o /\ ( ( `' ( { X } +c { Y } ) ` (/) ) e. A /\ ( `' ( { X } +c { Y } ) ` 1o ) e. B ) ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) ) )
71	62, 70	syl5bb 272	. . 3 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( `' ( { X } +c { Y } ) Fn 2o /\ ( `' ( { X } +c { Y } ) ` (/) ) e. A /\ ( `' ( { X } +c { Y } ) ` 1o ) e. B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) ) )
72	58, 61, 71	pm5.21nii 368	. 2 |- ( ( `' ( { X } +c { Y } ) Fn 2o /\ ( `' ( { X } +c { Y } ) ` (/) ) e. A /\ ( `' ( { X } +c { Y } ) ` 1o ) e. B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) )
73	1, 72	bitri 264	1 |- ( `' ( { X } +c { Y } ) e. X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) <-> ( X e. A /\ Y e. B ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   2oc2o 7554   X_cixp 7908   +c ccda 8989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  xpscf  16226  xpsff1o  16228