Theorem 3wlkdlem4 27022

Description: Lemma 4 for 3wlkd 27030. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))

Assertion

Ref	Expression
3wlkdlem4	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem 3wlkdlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
2		3wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3		3wlkd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
4	2, 3, 1	3wlkdlem3 27021	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5		simpl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
6	5	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ 𝐴 ∈ 𝑉))
7		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
8	7	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘1) ∈ 𝑉 ↔ 𝐵 ∈ 𝑉))
9	6, 8	anbi12d 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)))
10	9	biimparc 504	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵)) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉))
11		c0ex 10034	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
12		1ex 10035	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
13	11, 12	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
14		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
15	14	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
16		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
17	16	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘1) ∈ 𝑉))
18	15, 17	ralprg 4234	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉)))
19	13, 18	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉)))
20	10, 19	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵)) → ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)
21	20	ex 450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉))
22		simpl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘2) = 𝐶)
23	22	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ↔ 𝐶 ∈ 𝑉))
24		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘3) = 𝐷)
25	24	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘3) ∈ 𝑉 ↔ 𝐷 ∈ 𝑉))
26	23, 25	anbi12d 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉) ↔ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
27	26	biimparc 504	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉))
28		2ex 11092	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
29		3ex 11096	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ V
30	28, 29	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
31		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘2))
32	31	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
33		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘3))
34	33	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘3) ∈ 𝑉))
35	32, 34	ralprg 4234	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ V ∧ 3 ∈ V) → (∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉)))
36	30, 35	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉)))
37	27, 36	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)
38	37	ex 450	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉))
39	21, 38	im2anan9 880	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)))
40	1, 4, 39	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉))
41	3	fveq2i 6194	. . . . . . 7 ⊢ (#‘𝐹) = (#‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
42		s3len 13639	. . . . . . 7 ⊢ (#‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
43	41, 42	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ (#‘𝐹) = 3
44	43	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ (0...(#‘𝐹)) = (0...3)
45		fz0to3un2pr 12441	. . . . 5 ⊢ (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
46	44, 45	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ (0...(#‘𝐹)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
47	46	raleqi 3142	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0...(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)
48		ralunb 3794	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉))
49	47, 48	bitri 264	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0...(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉))
50	40, 49	sylibr 224	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∪ cun 3572  {cpr 4179  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937  2c2 11070  3c3 11071  ...cfz 12326  #chash 13117  ⟨“cs3 13587  ⟨“cs4 13588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-s4 13595

This theorem is referenced by:  3wlkd  27030