Theorem asinlem2 24596

Description: The argument to the logarithm in df-asin 24592 has the property that replacing 𝐴 with -𝐴 in the expression gives the reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinlem2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)

Proof of Theorem asinlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 9995	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 10020	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 706	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		ax-1cn 9994	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		sqcl 12925	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6		subcl 10280	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 14176	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
9	3, 8	addcomd 10238	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)))
10		mulneg2 10467	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
11	1, 10	mpan 706	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
12		sqneg 12923	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
13	12	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (-𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
14	13	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
15	11, 14	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
16	3	negcld 10379	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
17	16, 8	addcomd 10238	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)))
18	8, 3	negsubd 10398	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
19	15, 17, 18	3eqtrd 2660	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
20	9, 19	oveq12d 6668	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
21	7	sqsqrtd 14178	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = (1 − (𝐴↑2)))
22		sqmul 12926	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
23	1, 22	mpan 706	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
24		i2 12965	. . . . . . 7 ⊢ (i↑2) = -1
25	24	oveq1i 6660	. . . . . 6 ⊢ ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
26	5	mulm1d 10482	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
27	25, 26	syl5eq 2668	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
28	23, 27	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
29	21, 28	oveq12d 6668	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 − (𝐴↑2)) − -(𝐴↑2)))
30		subsq 12972	. . . 4 ⊢ (((√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
31	8, 3, 30	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
32	7, 5	subnegd 10399	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (𝐴↑2)) − -(𝐴↑2)) = ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)))
33	29, 31, 32	3eqtr3d 2664	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))) = ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)))
34		npcan 10290	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)) = 1)
35	4, 5, 34	sylancr 695	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)) = 1)
36	20, 33, 35	3eqtrd 2660	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  1c1 9937  ici 9938   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  -cneg 10267  2c2 11070  ↑cexp 12860  √csqrt 13973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  asinlem3  24598  asinneg  24613