Theorem asinlem3 24598

Description: The argument to the logarithm in df-asin 24592 has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinlem3	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))

Proof of Theorem asinlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10041	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℝ)
2		imcl 13851	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3		ax-icn 9995	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
4		negcl 10281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
5	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℂ)
6		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
8		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	5	sqcld 13006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (-𝐴↑2) ∈ ℂ)
10		subcl 10280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (-𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (-𝐴↑2)) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 − (-𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	11	sqrtcld 14176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) ∈ ℂ)
13	7, 12	addcld 10059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
14		asinlem 24595	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0)
15	5, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0)
16	13, 15	absrpcld 14187	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) ∈ ℝ+)
17		2z 11409	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
18		rpexpcl 12879	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ∈ ℝ+)
19	16, 17, 18	sylancl 694	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ∈ ℝ+)
20	19	rprecred 11883	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) ∈ ℝ)
21	13	cjcld 13936	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) ∈ ℂ)
22	21	recld 13934	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))) ∈ ℝ)
23	19	rpreccld 11882	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) ∈ ℝ+)
24	23	rpge0d 11876	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)))
25		imneg 13873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
27	2	le0neg2d 10600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (ℑ‘𝐴) ↔ -(ℑ‘𝐴) ≤ 0))
28	27	biimpa 501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘𝐴) ≤ 0)
29	26, 28	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘-𝐴) ≤ 0)
30		asinlem3a 24597	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘-𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
31	5, 29, 30	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
32	13	recjd 13944	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))) = (ℜ‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
33	31, 32	breqtrrd 4681	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
34	20, 22, 24, 33	mulge0d 10604	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
35		recval 14062	. . . . . . 7 ⊢ ((((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0) → (1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)))
36	13, 15, 35	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)))
37		asinlem2 24596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)
38	37	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)
39	38	eqcomd 2628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 1 = (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
40		1cnd 10056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
41		simpl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42		mulcl 10020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
43	3, 41, 42	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
44		sqcl 12925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
46		subcl 10280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
47	8, 45, 46	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
48	47	sqrtcld 14176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
49	43, 48	addcld 10059	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
50	40, 49, 13, 15	divmul3d 10835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ↔ 1 = (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
51	39, 50	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (1 / ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
52	19	rpcnd 11874	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ∈ ℂ)
53	19	rpne0d 11877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2) ≠ 0)
54	21, 52, 53	divrec2d 10805	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
55	36, 51, 54	3eqtr3d 2664	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
56	55	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = (ℜ‘((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
57	20, 21	remul2d 13967	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
58	56, 57	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((1 / ((abs‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))↑2)) · (ℜ‘(∗‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))))
59	34, 58	breqtrrd 4681	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
60		asinlem3a 24597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
61	1, 2, 59, 60	lecasei 10143	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937  ici 9938   + caddc 9939   · cmul 9941   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  2c2 11070  ℤcz 11377  ℝ⁺crp 11832  ↑cexp 12860  ∗ccj 13836  ℜcre 13837  ℑcim 13838  √csqrt 13973  abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  asinneg  24613  asinbnd  24626  dvasin  33496