Theorem rpne0 11848

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 11846	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 10493	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ℝcr 9935  0cc0 9936   < clt 10074  ℝ⁺crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  rprene0  11849  rpcnne0  11850  rpne0d  11877  divge1  11898  xlemul1  12120  ltdifltdiv  12635  mulmod0  12676  negmod0  12677  moddiffl  12681  modid0  12696  modmuladd  12712  modmuladdnn0  12714  2txmodxeq0  12730  rpexpcl  12879  expnlbnd  12994  rennim  13979  sqrtdiv  14006  o1fsum  14545  divrcnv  14584  rpmsubg  19810  itg2const2  23508  reeff1o  24201  reefgim  24204  logne0  24326  advlog  24400  advlogexp  24401  logcxp  24415  cxprec  24432  cxpmul  24434  abscxp  24438  cxple2  24443  dvcxp1  24481  dvcxp2  24482  dvsqrt  24483  relogbreexp  24513  relogbzexp  24514  relogbmul  24515  relogbdiv  24517  relogbexp  24518  relogbcxp  24523  relogbcxpb  24525  relogbf  24529  logblog  24530  rlimcnp  24692  efrlim  24696  cxplim  24698  cxp2limlem  24702  cxploglim  24704  logdifbnd  24720  logdiflbnd  24721  logfacrlim2  24951  bposlem8  25016  vmadivsum  25171  mudivsum  25219  mulogsumlem  25220  logdivsum  25222  log2sumbnd  25233  selberg2lem  25239  selberg2  25240  pntrmax  25253  selbergr  25257  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  pntlem3  25298  padicabvcxp  25321  blocnilem  27659  nmcexi  28885  probfinmeasbOLD  30490  probfinmeasb  30491  signsplypnf  30627  logdivsqrle  30728  poimirlem29  33438  areacirclem1  33500  areacirclem4  33503  areacirc  33505  heiborlem6  33615  heiborlem7  33616  xralrple2  39570  recnnltrp  39593  rpgtrecnn  39597  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  fldivmod  42313  relogbmulbexp  42355  relogbdivb  42356  blenre  42368