Theorem broutsideof2 32229

Description: Alternate form of OutsideOf. Definition 6.1 of [Schwabhauser] p. 43. (Contributed by Scott Fenton, 17-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
broutsideof2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))

Proof of Theorem broutsideof2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		broutsideof 32228	. 2 ⊢ (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
2		btwntriv1 32123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
3	2	3adant3r1 1274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		breq1 4656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝑃 → (𝐴 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
5	3, 4	syl5ibcom 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 = 𝑃 → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
6	5	necon3bd 2808	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐴 ≠ 𝑃))
7	6	imp 445	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐴 ≠ 𝑃)
8	7	adantrl 752	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐴 ≠ 𝑃)
9		btwntriv2 32119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
10	9	3adant3r1 1274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
11		breq1 4656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝑃 → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
12	10, 11	syl5ibcom 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 = 𝑃 → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
13	12	necon3bd 2808	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐵 ≠ 𝑃))
14	13	imp 445	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐵 ≠ 𝑃)
15	14	adantrl 752	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐵 ≠ 𝑃)
16		brcolinear 32166	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∨ 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
17		pm2.24 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
19		3anrot 1043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)))
20		btwncom 32121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ ↔ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))
21	19, 20	sylan2b 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ ↔ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))
22		orc 400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
23	21, 22	syl6bi 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
24	23	a1dd 50	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
25		olc 399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
26	25	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
28	18, 24, 27	3jaod 1392	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∨ 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
29	16, 28	sylbid 230	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
30	29	imp32 449	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
31	8, 15, 30	3jca 1242	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
32		simp3 1063	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
33		3ancomb 1047	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)))
34		btwncolinear2 32177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩))
35	33, 34	sylan2b 492	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩))
36		btwncolinear1 32176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩))
37	35, 36	jaod 395	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩))
38	32, 37	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩))
39	38	imp 445	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))) → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩)
40		simpr2 1068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → 𝐴 ≠ 𝑃)
41	40	neneqd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ¬ 𝐴 = 𝑃)
42		simprl1 1106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
43		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
44		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
45		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
46		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
47		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
48		btwnswapid 32124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐴 = 𝑃))
49	44, 45, 46, 47, 48	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐴 = 𝑃))
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐴 = 𝑃))
51	42, 43, 50	mp2and 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐴 = 𝑃)
52	51	expr 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐴 = 𝑃))
53	41, 52	mtod 189	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
54	53	3exp2 1285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → (𝐴 ≠ 𝑃 → (𝐵 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))))
55		simpr3 1069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → 𝐵 ≠ 𝑃)
56	55	neneqd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ¬ 𝐵 = 𝑃)
57		simprl1 1106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
58		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
59	44, 46, 45, 47, 58	btwncomand 32122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐴⟩)
60		3anrot 1043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
61		btwnswapid 32124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐴⟩) → 𝐵 = 𝑃))
62	60, 61	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐴⟩) → 𝐵 = 𝑃))
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐴⟩) → 𝐵 = 𝑃))
64	57, 59, 63	mp2and 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐵 = 𝑃)
65	64	expr 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐵 = 𝑃))
66	56, 65	mtod 189	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
67	66	3exp2 1285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → (𝐴 ≠ 𝑃 → (𝐵 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))))
68	54, 67	jaod 395	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → (𝐴 ≠ 𝑃 → (𝐵 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))))
69	68	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ≠ 𝑃 → (𝐵 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))))
70	69	com4l 92	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ≠ 𝑃 → (𝐵 ≠ 𝑃 → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))))
71	70	3imp2 1282	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))) → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
72	39, 71	jca 554	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))) → (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
73	31, 72	impbida 877	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
74	1, 73	syl5bb 272	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∨ w3o 1036   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  ℕcn 11020  𝔼cee 25768   Btwn cbtwn 25769   Colinear ccolin 32144  OutsideOfcoutsideof 32226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-ee 25771  df-btwn 25772  df-cgr 25773  df-colinear 32146  df-outsideof 32227

This theorem is referenced by:  outsidene1  32230  outsidene2  32231  btwnoutside  32232  broutsideof3  32233  outsideofcom  32235  outsideoftr  32236  outsideofeq  32237  outsideofeu  32238  lineunray  32254