Theorem clwlkclwwlklem1 26900

Description: Lemma 1 for clwlkclwwlk 26903. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwlkclwwlklem1	⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐸,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑓,𝑉,𝑖

Proof of Theorem clwlkclwwlklem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6678	. . 3 ⊢ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∈ V
2		mptexg 6484	. . 3 ⊢ ((0..^((#‘𝑃) − 1)) ∈ V → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) ∈ V)
3	1, 2	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) ∈ V)
4		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
5	4	clwlkclwwlklem2a 26899	. . . 4 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))(𝐸‘((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))))))))
6	5	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))(𝐸‘((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))))))))
7		eleq1 2689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) ∈ Word dom 𝐸))
8		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (#‘𝑓) = (#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))
9	8	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (0...(#‘𝑓)) = (0...(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))))))
10	9	feq2d 6031	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ↔ 𝑃:(0...(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))⟶𝑉))
11	8	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (0..^(#‘𝑓)) = (0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))))))
12		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (𝑓‘𝑖) = ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖))
13	12	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = (𝐸‘((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖)))
14	13	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → ((𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
15	11, 14	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))(𝐸‘((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
16	7, 10, 15	3anbi123d 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))(𝐸‘((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
17	8	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (𝑃‘(#‘𝑓)) = (𝑃‘(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))))))
18	17	eqeq2d 2632	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))))
19	16, 18	anbi12d 747	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))(𝐸‘((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))))))))
20	19	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) ↔ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))(𝐸‘((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))))))
21	20	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))) → (((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) ↔ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))(𝐸‘((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))))))
22	6, 21	mpbird 247	. 2 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
23	3, 22	spcimedv 3292	1 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200  ifcif 4086  {cpr 4179   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114  ran crn 5115  ⟶wf 5884  –1-1→wf1 5885  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  2c2 11070  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300

This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem3  26902