clwlkclwwlk - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlk 26903

Description: A closed walk as word of length at least 2 corresponds to a closed walk in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
clwlkclwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwlkclwwlk.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlk	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))

Distinct variable groups: 𝑓,𝐸 𝑃,𝑓 𝑓,𝑉 𝑓,𝐺

Proof of Theorem clwlkclwwlk Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkclwwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
2	1	uspgrf1oedg 26068	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
3		f1of1 6136	. . . . 5 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(Edg‘𝐺) → 𝐸:dom 𝐸–1-1→(Edg‘𝐺))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1→(Edg‘𝐺))
5		clwlkclwwlklem3 26902	. . . 4 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
6	4, 5	syl3an1 1359	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
7		lencl 13324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ₀)
8		ige2m1fz 12430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ (0...(#‘𝑃)))
9	7, 8	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ (0...(#‘𝑃)))
10		swrd0len 13422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ (0...(#‘𝑃))) → (#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = ((#‘𝑃) − 1))
11	9, 10	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = ((#‘𝑃) − 1))
12	7	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
13		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
14	12, 13	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
15	14	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = ((#‘𝑃) − 1))
16	15	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 0))
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 0))
18	11, 17	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = (((#‘𝑃) − 1) − 0))
19	18	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1) = ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
20	19	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
21	11	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 1))
22	21	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1)))
23	22	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))))
24		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
25		wrdlenge2n0 13341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 ≠ ∅)
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ≠ ∅)
27		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
28		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
30	7, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
32		elfzom1elfzo 12535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
33	31, 32	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
34		swrdtrcfv 13441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
35	24, 26, 33, 34	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
36	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ₀)
37		elfzom1elp1fzo 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
38	29, 37	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
39	36, 38	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
40		swrdtrcfv 13441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅ ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
41	24, 26, 39, 40	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
42	35, 41	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → {((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
43	42	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
44	43	ex 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1)) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
45	23, 44	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
46	45	imp 445	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1))) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
47	20, 46	raleqbidva 3154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
48		swrdtrcfvl 13450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
49		swrdtrcfv0 13442	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0) = (𝑃‘0))
50	48, 49	preq12d 4276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
51	50	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ({( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
52	47, 51	anbi12d 747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
53	52	bicomd 213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
54	53	3adant1 1079	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
55		swrdcl 13419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
56	55	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
57	56	3biant1d 1441	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
58	54, 57	bitrd 268	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
59	58	anbi2d 740	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
60	6, 59	bitrd 268	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
61		uspgrupgr 26071	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph )
62		clwlkclwwlk.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
63	62, 1	isclwlkupgr 26674	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))))))
64		3an4anass 1291	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
65	63, 64	syl6bbr 278	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
66	61, 65	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
67	66	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
68	67	exbidv 1850	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
69	68	3adant3 1081	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
70		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
71	62, 70	isclwwlks 26880	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
72		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
73		nn0ge2m1nn 11360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
74	7, 73	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
75		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
76	75	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃))
77	76	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃)))
78	7, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃)))
79	78	imp 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃))
80	72, 74, 79	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃)))
81	80	3adant1 1079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃)))
82		swrdn0 13430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅)
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅)
84	83	biantrud 528	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅)))
85	84	bicomd 213	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅) ↔ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉))
86	85	3anbi1d 1403	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
87	71, 86	syl5bb 272	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
88		biid 251	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
89		edgval 25941	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
90	1	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐸
91	90	rneqi 5352	. . . . . . . 8 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
92	89, 91	eqtri 2644	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran 𝐸
93	92	eleq2i 2693	. . . . . 6 ⊢ ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
94	93	ralbii 2980	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
95	92	eleq2i 2693	. . . . 5 ⊢ ({( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)
96	88, 94, 95	3anbi123i 1251	. . . 4 ⊢ (((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))
97	87, 96	syl6bb 276	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
98	97	anbi2d 740	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
99	60, 69, 98	3bitr4d 300	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∃wex 1704 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 ∅c0 3915 {cpr 4179 ⟨cop 4183 class class class wbr 4653 dom cdm 5114 ran crn 5115 ⟶wf 5884 –1-1→wf1 5885 –1-1-onto→wf1o 5887 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 ≤ cle 10075 − cmin 10266 ℕcn 11020 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ...cfz 12326 ..^cfzo 12465 #chash 13117 Word cword 13291 lastS clsw 13292 substr csubstr 13295 Vtxcvtx 25874 iEdgciedg 25875 Edgcedg 25939 UPGraph cupgr 25975 USPGraph cuspgr 26043 ClWalkscclwlks 26666 ClWWalkscclwwlks 26875

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-ifp 1013 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-lsw 13300 df-substr 13303 df-edg 25940 df-uhgr 25953 df-upgr 25977 df-uspgr 26045 df-wlks 26495 df-clwlks 26667 df-clwwlks 26877

This theorem is referenced by: clwlkclwwlk2 26904

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