clwlkclwwlklem2a - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlklem2a 26899

Description: Lemma for clwlkclwwlklem2 26901. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2a	⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑃 𝑥,𝐸 𝑥,𝑉 𝑖,𝐸 𝑖,𝐹 𝑃,𝑖 𝑅,𝑖,𝑥 𝑖,𝑉 Allowed substitution hint: 𝐹(𝑥)

**Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))
2		f1f1orn 6148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
3	2	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
5	4	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
6		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)))
7		lencl 13324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ₀)
8		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 𝑥 ∈ ℕ₀)
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) → 𝑥 ∈ ℕ₀)
10		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥))
11		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 0 ∈ ℝ)
12		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
15		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
17	14, 16	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
19		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
20	11, 13, 18, 19	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
21		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
22		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ 2 ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℤ)
24	21, 23	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
25	24	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
26		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
27	25, 26	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
28		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
29		peano2cnm 10347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
31	30	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = ((#‘𝑃) − 1))
32	31	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 1))
33		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℂ)
34	28, 33, 33	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − (1 + 1)))
35		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (1 + 1) = 2
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (1 + 1) = 2)
37	36	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − (1 + 1)) = ((#‘𝑃) − 2))
38	34, 37	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
39	32, 38	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
40	39	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ))
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)) → (((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ))
42	27, 41	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)
43	42	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (0 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (0 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
45	20, 44	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
46	45	exp4b 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (0 ≤ 𝑥 → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))))
47	46	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑥 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))))
48	47	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)))
49	10, 48	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)))
50	49	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
51	50	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
53	52	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)
54		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ 2 = (1 + 1)
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 = (1 + 1))
56	55	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) = ((#‘𝑃) − (1 + 1)))
57	31	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 0))
58	57	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
59	56, 34, 58	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) = ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((#‘𝑃) − 2) = ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
61	60	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ↔ 𝑥 < ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
62	61	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 𝑥 < ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 𝑥 < ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
64	63	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) → 𝑥 < ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
65		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
66	9, 53, 64, 65	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
67	66	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → (2 ≤ (#‘𝑃) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
68	67	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → (2 ≤ (#‘𝑃) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
69	68	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
70	69	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))))
71	70	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))))
72	71	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
73	72	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
74	73	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
75	7, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
76	75	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
77	76	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
78	6, 77	syl7bi 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
79	78	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
80	79	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
81		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑥))
82		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 + 1) = (𝑥 + 1))
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑥 + 1)))
84	81, 83	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
85	84	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) ∧ 𝑖 = 𝑥) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
87	80, 86	rspcdv 3312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
88	87	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
89	88	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
90	89	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
91	90	impcom 446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
92	91	expdimp 453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
93	92	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)
94		f1ocnvdm 6540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)
95	5, 93, 94	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)
96	1, 95	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸))
97	96	orcd 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
98		simpl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))
99	4	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
100		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ → 𝑥 ∈ ℤ)
101		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
102	21, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
103	100, 102	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ))
104		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ 𝑥 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1)))
105	103, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ 𝑥 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1)))
106	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
107	106	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
108	107	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1) → 𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
109	105, 108	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
110	109	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
111	110	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2))
112		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ → 𝑥 ∈ ℝ)
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
114	113, 17	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ))
115		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2) ↔ ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥))
116	114, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2) ↔ ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥))
117	111, 116	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥)
118	117	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → (¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)))
119	114	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
120	119	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
121		lttri3 10121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((#‘𝑃) − 2) = 𝑥 ↔ (¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))))
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) = 𝑥 ↔ (¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))))
123	118, 122	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥)
124	123	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
125	124	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
126	125	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
127	6, 126	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
128	127	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥))
129	7, 128	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥))
130	129	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥))
131	130	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥)
132	131	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)) = (𝑃‘𝑥))
133	132	preq1d 4274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})
134	133	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
135	134	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
136	135	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
137	136	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
138	137	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
139	138	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
140	139	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
141	140	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
142	141	imp31 448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
143	142	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
144		f1ocnvdm 6540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)
145	99, 143, 144	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)
146	98, 145	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸))
147	146	olcd 408	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
148	97, 147	pm2.61ian 831	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
149		ifel 4129	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) ∈ dom 𝐸 ↔ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
150	148, 149	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) ∈ dom 𝐸)
151		clwlkclwwlklem2.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
152	150, 151	fmptd 6385	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐹:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸)
153		iswrdi 13309	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
154	152, 153	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
155		wrdf 13310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶𝑉)
156	155	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶𝑉)
157	151	clwlkclwwlklem2a2 26894	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
158		fzoval 12471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑃)) = (0...((#‘𝑃) − 1)))
159	7, 21, 158	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (0..^(#‘𝑃)) = (0...((#‘𝑃) − 1)))
160		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑃) − 1) = (#‘𝐹) → (0...((#‘𝑃) − 1)) = (0...(#‘𝐹)))
161	160	eqcoms 2630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → (0...((#‘𝑃) − 1)) = (0...(#‘𝐹)))
162	159, 161	sylan9eq 2676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1)) → (0..^(#‘𝑃)) = (0...(#‘𝐹)))
163	157, 162	syldan 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^(#‘𝑃)) = (0...(#‘𝐹)))
164	163	feq2d 6031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶𝑉 ↔ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉))
165	156, 164	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
166	165	3adant1 1079	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
167	166	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
168		clwlkclwwlklem2a1 26893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
169	168	3adant1 1079	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
170	169	imp 445	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
171	157	3adant1 1079	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
172	171	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
173	151	clwlkclwwlklem2a4 26898	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
174	173	impl 650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
175	174	ralimdva 2962	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
176		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → (0..^(#‘𝐹)) = (0..^((#‘𝑃) − 1)))
177	176	raleqdv 3144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
178	177	imbi2d 330	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
179	175, 178	syl5ibr 236	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
180	172, 179	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
181	180	adantrr 753	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
182	170, 181	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
183	154, 167, 182	3jca 1242	. . 3 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
184	151	clwlkclwwlklem2a3 26895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = ( lastS ‘𝑃))
185	184	3adant1 1079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = ( lastS ‘𝑃))
186	185	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
187	186	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃‘0) = ( lastS ‘𝑃) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
188	187	biimpcd 239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘0) = ( lastS ‘𝑃) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
189	188	eqcoms 2630	. . . . 5 ⊢ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
190	189	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
191	190	impcom 446	. . 3 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
192	183, 191	jca 554	. 2 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
193	192	ex 450	1 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∨ wo 383 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ∀wral 2912 ifcif 4086 {cpr 4179 class class class wbr 4653 ↦ cmpt 4729 ^◡ccnv 5113 dom cdm 5114 ran crn 5115 ⟶wf 5884 –1-1→wf1 5885 –1-1-onto→wf1o 5887 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 ℕcn 11020 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ...cfz 12326 ..^cfzo 12465 #chash 13117 Word cword 13291 lastS clsw 13292

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-lsw 13300

This theorem is referenced by: clwlkclwwlklem1 26900

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