clwlkclwwlklem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlklem2 26901

Description: Lemma 2 for clwlkclwwlk 26903. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2	⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))

Distinct variable groups: 𝑖,𝐸 𝑃,𝑖 𝑅,𝑖 𝑖,𝑉 𝑖,𝐹

**Proof of Theorem clwlkclwwlklem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fn 6102	. . . 4 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 → 𝐸 Fn dom 𝐸)
2		dffn3 6054	. . . 4 ⊢ (𝐸 Fn dom 𝐸 ↔ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
3	1, 2	sylib 208	. . 3 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
4		lencl 13324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (#‘𝐹) ∈ ℕ₀)
5		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 Fn (0...(#‘𝐹)))
6		fnfz0hash 13230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃 Fn (0...(#‘𝐹))) → (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))
7	4, 5, 6	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))
8		ffz0iswrd 13332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
9		lsw 13351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
10	9	ad6antr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
11		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝐹) + 1) − 1))
12	11	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)))
13	12	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)))
14		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘0))
15		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
16		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℂ)
17	15, 16	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (((#‘𝐹) + 1) − 1) = (#‘𝐹))
18	17	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (#‘𝐹) = (((#‘𝐹) + 1) − 1))
19	18	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (#‘𝐹) = (((#‘𝐹) + 1) − 1))
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)))
21	20	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
22	21	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
23	14, 22	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
24	23	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
25	24	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0))
26	10, 13, 25	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0))
27		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
28		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℤ → ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
30		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
31	30	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝐹) − 1) ≤ (#‘𝐹))
32		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ (ℤ_≥‘((#‘𝐹) − 1)) ↔ (((#‘𝐹) − 1) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐹) − 1) ≤ (#‘𝐹)))
33	29, 27, 31, 32	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (#‘𝐹) ∈ (ℤ_≥‘((#‘𝐹) − 1)))
34	33	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (#‘𝐹) ∈ (ℤ_≥‘((#‘𝐹) − 1)))
35		fzoss2 12496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ (ℤ_≥‘((#‘𝐹) − 1)) → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
36		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
37	34, 35, 36	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
40		wrdf 13310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
41		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
42		fzossrbm1 12497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
43	27, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
45	44	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
46	41, 45	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)
47	46	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)))
48	40, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)))
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)))
50	49	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸))
51	50	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸))
52	51	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)
53	39, 52	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) ∈ ran 𝐸)
54		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹‘𝑖)))
55	54	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹‘𝑖)))
56	55	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) ∈ ran 𝐸))
57	53, 56	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
58	57	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
59	37, 58	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
61	60	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
62		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((#‘𝐹) + 1)))
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((#‘𝐹) + 1)))
64		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 2 ∈ ℝ
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
66		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℝ)
67	65, 66, 30	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((2 − 1) ≤ (#‘𝐹) ↔ 2 ≤ ((#‘𝐹) + 1)))
68		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (2 − 1) = 1
69	68	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((2 − 1) ≤ (#‘𝐹) ↔ 1 ≤ (#‘𝐹))
70		elnnnn0c 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)))
71	70	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (1 ≤ (#‘𝐹) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
72	69, 71	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((2 − 1) ≤ (#‘𝐹) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
73	67, 72	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ ((#‘𝐹) + 1) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) → (2 ≤ ((#‘𝐹) + 1) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ ((#‘𝐹) + 1) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
76	63, 75	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
77	76	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
79		lbfzo0 12507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐹) ∈ ℕ)
80	78, 79	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
81		fzoend 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
83		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
85		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘((#‘𝐹) − 1)))
86		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑖 + 1) = (((#‘𝐹) − 1) + 1))
87	86	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)))
88	85, 87	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))})
89	84, 88	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))}))
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 = ((#‘𝐹) − 1)) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))}))
91	82, 90	rspcdv 3312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))}))
92	15, 16	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (((#‘𝐹) − 1) + 1) = (#‘𝐹))
93	92	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (((#‘𝐹) − 1) + 1) = (#‘𝐹))
94	93	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
95	94	preq2d 4275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))})
96	95	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))}))
97	40	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
98	73	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (2 ≤ ((#‘𝐹) + 1) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
99	62, 98	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (#‘𝐹) ∈ ℕ)))
100	99	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)))
101	100	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)))
102	101	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
103	102, 79	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
104	103, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
105	97, 104	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ dom 𝐸)
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ dom 𝐸)
107	38, 106	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) ∈ ran 𝐸)
108		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} = (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
109	108	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} = (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
110	109	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} → ({(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) ∈ ran 𝐸))
111	107, 110	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
112	96, 111	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
113	91, 112	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
115	114	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸)
116		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))})
117	116	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → ({(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
118	117	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → ({(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
119	118	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → ({(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
120	115, 119	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
121	26, 61, 120	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
122	121	exp41 638	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
123	122	exp41 638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
124	8, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
125	124	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
126	4, 125	mpcom 38	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))))
127	126	imp 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
128	7, 127	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
129	128	expcom 451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
130	129	com14 96	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
131	130	imp 445	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
132	131	com13 88	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
133	132	imp 445	. . . 4 ⊢ ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
134	133	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
135	3, 134	sylan 488	. 2 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
136	135	3imp 1256	1 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ∀wral 2912 ⊆ wss 3574 {cpr 4179 class class class wbr 4653 dom cdm 5114 ran crn 5115 Fn wfn 5883 ⟶wf 5884 –1-1→wf1 5885 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 ≤ cle 10075 − cmin 10266 ℕcn 11020 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ℤ_≥cuz 11687 ...cfz 12326 ..^cfzo 12465 #chash 13117 Word cword 13291 lastS clsw 13292

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-lsw 13300

This theorem is referenced by: clwlkclwwlklem3 26902 clwlksfclwwlk 26962

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