Theorem clwlkclwwlklem2fv1 26896

Description: Lemma 4a for clwlkclwwlklem2a 26899. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))

Assertion

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2fv1	⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) → (𝐹‘𝐼) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2fv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkclwwlklem2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))))
3		breq1 4656	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ↔ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
4		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝐼))
5		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 + 1) = (𝐼 + 1))
6	5	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘(𝑥 + 1)) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
7	4, 6	preq12d 4276	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
8	7	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
9	4	preq1d 4274	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)})
10	9	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)}))
11	3, 8, 10	ifbieq12d 4113	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) = if(𝐼 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)})))
12		elfzolt2 12479	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))
13	12	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))
14	13	iftrued 4094	. . 3 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) → if(𝐼 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)})) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
15	11, 14	sylan9eqr 2678	. 2 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
16		nn0z 11400	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
17		2z 11409	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
19	16, 18	zsubcld 11487	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
20		peano2zm 11420	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
21	16, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
22		1red 10055	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
23		2re 11090	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
25		nn0re 11301	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
26		1le2 11241	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 2
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ≤ 2)
28	22, 24, 25, 27	lesub2dd 10644	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) ≤ ((#‘𝑃) − 1))
29		eluz2 11693	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘((#‘𝑃) − 2)) ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ≤ ((#‘𝑃) − 1)))
30	19, 21, 28, 29	syl3anbrc 1246	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘((#‘𝑃) − 2)))
31		fzoss2 12496	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘((#‘𝑃) − 2)) → (0..^((#‘𝑃) − 2)) ⊆ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
32	30, 31	syl 17	. . 3 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0..^((#‘𝑃) − 2)) ⊆ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
33	32	sselda 3603	. 2 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) → 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
34		fvexd 6203	. 2 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}) ∈ V)
35	2, 15, 33, 34	fvmptd 6288	1 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) → (𝐹‘𝐼) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ifcif 4086  {cpr 4179   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ^◡ccnv 5113  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ..^cfzo 12465  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a4  26898