clwlkclwwlklem2a4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlklem2a4 26898

Description: Lemma 4 for clwlkclwwlklem2a 26899. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2a4	⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑃 𝑥,𝐸 𝑥,𝑉 𝑥,𝐼 Allowed substitution hints: 𝑅(𝑥) 𝐹(𝑥)

**Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)))
2		lencl 13324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ₀)
3		clwlkclwwlklem2.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
4	3	clwlkclwwlklem2fv2 26897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
5	2, 4	sylan 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
6	1, 5	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
7	6	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
8	7	3adant1 1079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
9	8	ad2antrr 762	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
10	9	impcom 446	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
11	10	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
12		f1f1orn 6148	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
13	12	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
14	13	ad2antrr 762	. . . . 5 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
15		lsw 13351	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
16	15	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)))
17		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
18		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
19		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
20		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((#‘𝑃) − (2 − 1)) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
22		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 − 1) = 1
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (2 − 1) = 1)
24	23	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((#‘𝑃) − (2 − 1)) = ((#‘𝑃) − 1))
25	21, 24	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (((#‘𝑃) − 2) + 1) = ((#‘𝑃) − 1))
26	2, 17, 25	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((#‘𝑃) − 2) + 1) = ((#‘𝑃) − 1))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (((#‘𝑃) − 2) + 1) = ((#‘𝑃) − 1))
28	27	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
29		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) → ((𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1))))
30	29	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → ((𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1))))
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → ((𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1))))
32	28, 31	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
33	32	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
34	16, 33	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
35	34	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
36	35	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
38	37	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
40	39	preq2d 4275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
41		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃‘𝐼) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
42		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐼 + 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
43	42	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
44	41, 43	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
45	44	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
47	40, 46	mpbird 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
48	47	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
49	48	biimpd 219	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
50	49	impancom 456	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
51	50	impcom 446	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
52		f1ocnvfv2 6533	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})) = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
53	14, 51, 52	syl2an2 875	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})) = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
54		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
55	54	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
56		1e2m1 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 = (2 − 1)
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
58	57	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = ((#‘𝑃) − (2 − 1)))
59	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
60		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 2 ∈ ℂ)
61		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
62	59, 60, 61	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − (2 − 1)) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
63	58, 62	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
65	55, 64	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
66	65	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))))
67	16, 66	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))))
68	67	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
69	68	preq2d 4275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
71	44	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
72	70, 71	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
73	72	exp31 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
74	73	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
75	74	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
76	75	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
77	76	impcom 446	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
78	77	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
79	78	impcom 446	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
80	11, 53, 79	3eqtrd 2660	. . 3 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
81		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (#‘𝑃) ∈ ℕ₀)
82		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((#‘𝑃) − 1) = (2 − 1))
83	82, 22	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((#‘𝑃) − 1) = 1)
84	83	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = (0..^1))
85	84	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↔ 𝐼 ∈ (0..^1)))
86		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((#‘𝑃) − 2) = (2 − 2))
87		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℂ
88	87	subidi 10352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 − 2) = 0
89	86, 88	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((#‘𝑃) − 2) = 0)
90	89	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ 𝐼 = 0))
91	90	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ ¬ 𝐼 = 0))
92	85, 91	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ↔ (𝐼 ∈ (0..^1) ∧ ¬ 𝐼 = 0)))
93		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐼 ∈ {0} → 𝐼 = 0)
94	93	pm2.24d 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐼 ∈ {0} → (¬ 𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
95		fzo01 12550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0..^1) = {0}
96	94, 95	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^1) → (¬ 𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
97	96	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^1) ∧ ¬ 𝐼 = 0) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
98	92, 97	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
99	98	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
100		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑃) ≠ 2 ↔ ¬ (#‘𝑃) = 2)
101		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℝ
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
103		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
104	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
105		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ (#‘𝑃))
106	102, 104, 105	leltned 10190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (2 < (#‘𝑃) ↔ (#‘𝑃) ≠ 2))
107		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)))
108		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝐼 ∈ ℕ₀)
109		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
110		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ 2 ∈ ℤ
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℤ)
112	109, 111	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 < (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
114	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
115	114, 103	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 < (#‘𝑃) ↔ 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
116	115	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 < (#‘𝑃)) → 0 < ((#‘𝑃) − 2))
117		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
118	113, 116, 117	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 < (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
119	118	ad5ant24 1305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
120		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → 𝐼 ∈ ℤ)
121		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
122	109, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
123		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1)))
124	120, 122, 123	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1)))
125	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
126		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℂ)
127	125, 126, 126	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − (1 + 1)))
128		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (1 + 1) = 2
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (1 + 1) = 2)
130	129	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((#‘𝑃) − (1 + 1)) = ((#‘𝑃) − 2))
131	127, 130	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
132	131	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1) ↔ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
133	124, 132	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
134		necom 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 ↔ 𝐼 ≠ ((#‘𝑃) − 2))
135		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐼 ≠ ((#‘𝑃) − 2) ↔ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))
136	134, 135	bitr2i 265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ ((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼)
137		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → 𝐼 ∈ ℝ)
138	137	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → 𝐼 ∈ ℝ)
139	103, 114	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
140	139	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
141		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2))
142		leltne 10127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 2) ↔ ((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼))
143	142	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 ↔ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
144	138, 140, 141, 143	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 ↔ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
145	144	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
146	136, 145	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
147	146	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
148	133, 147	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
149	148	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
150	149	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
151	150	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
152	151	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))
153	108, 119, 152	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
154	153	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
155	154	exp41 638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))))
156	155	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))))
157	156	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))))
158	157	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))))
159	107, 158	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))))
160	159	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
161	160	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 < (#‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
162	161	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (2 < (#‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
163	106, 162	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) ≠ 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
164	100, 163	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (¬ (#‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
165	164	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (¬ (#‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
166	165	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (¬ (#‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
167	166	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ (#‘𝑃) = 2 → ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
168	99, 167	pm2.61i 176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
169		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
170	168, 169	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))
171	81, 170	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))
172	171	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
173	2, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
174	173	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))))
175	174	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))))
176	175	expd 452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
177	176	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
178	177	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
179	178	impcom 446	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))))
180	179	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))))
181	180	impcom 446	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))
182	3	clwlkclwwlklem2fv1 26896	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
183	181, 182	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
184	183	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
185		simprr 796	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)
186		f1ocnvfv2 6533	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
187	14, 185, 186	syl2an2 875	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
188	184, 187	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
189	80, 188	pm2.61ian 831	. 2 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
190	189	exp31 630	1 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ifcif 4086 {csn 4177 {cpr 4179 class class class wbr 4653 ↦ cmpt 4729 ^◡ccnv 5113 dom cdm 5114 ran crn 5115 –1-1→wf1 5885 –1-1-onto→wf1o 5887 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 ℕcn 11020 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ..^cfzo 12465 #chash 13117 Word cword 13291 lastS clsw 13292

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-lsw 13300

This theorem is referenced by: clwlkclwwlklem2a 26899

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