Theorem clwlkclwwlklem2fv2 26897

Description: Lemma 4b for clwlkclwwlklem2a 26899. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))

Assertion

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2fv2	⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)) = (◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2fv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkclwwlklem2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))))
3		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2))
4		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
5		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	4, 5	jctir 561	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
7		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
11	3, 10	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
12	11	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → 𝑥 ∈ ℤ))
13		zre 11381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
14		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
15		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
17	14, 16	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
19		lttri3 10121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥)))
20	13, 18, 19	syl2anr 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥)))
21		simpl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))
22	20, 21	syl6bi 243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)))
23	22	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))))
24	12, 23	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))))
25	24	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))))
26	25	pm2.43i 52	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)))
27	26	impcom 446	. . . 4 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))
28	27	iffalsed 4097	. . 3 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))
29		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
30	29	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
31	30	preq1d 4274	. . . 4 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
32	31	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) = (◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
33	28, 32	eqtrd 2656	. 2 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) = (◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
34	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
35	34, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
36	14, 16	subge0d 10617	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0 ≤ ((#‘𝑃) − 2) ↔ 2 ≤ (#‘𝑃)))
37	36	biimpar 502	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2))
38		elnn0z 11390	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
39	35, 37, 38	sylanbrc 698	. . 3 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0)
40		nn0ge2m1nn 11360	. . 3 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
41		1red 10055	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
42	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
43	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
44		1lt2 11194	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
45	44	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 1 < 2)
46	41, 42, 43, 45	ltsub2dd 10640	. . 3 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) < ((#‘𝑃) − 1))
47		elfzo0 12508	. . 3 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑃) − 2) < ((#‘𝑃) − 1)))
48	39, 40, 46, 47	syl3anbrc 1246	. 2 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
49		fvexd 6203	. 2 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}) ∈ V)
50	2, 33, 48, 49	fvmptd 6288	1 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)) = (◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ifcif 4086  {cpr 4179   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ^◡ccnv 5113  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ..^cfzo 12465  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a4  26898