Theorem clwlksf1oclwwlk 26970

Description: There is a one-to-one onto function between the set of closed walks (defined as words) of length n and the set of closed walks of length n (in an undirected simple graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jul-2018.) (Revised by AV, 3-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwlksfclwwlk.1	⊢ 𝐴 = (1st ‘𝑐)
clwlksfclwwlk.2	⊢ 𝐵 = (2nd ‘𝑐)
clwlksfclwwlk.c	⊢ 𝐶 = {𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ (#‘𝐴) = 𝑁}
clwlksfclwwlk.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝐶 ↦ (𝐵 substr ⟨0, (#‘𝐴)⟩))

Assertion

Ref	Expression
clwlksf1oclwwlk	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝐹:𝐶–1-1-onto→(𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑐   𝑁,𝑐   𝐶,𝑐   𝐹,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑐)

Proof of Theorem clwlksf1oclwwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlksfclwwlk.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = (1st ‘𝑐)
2		clwlksfclwwlk.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (2nd ‘𝑐)
3		clwlksfclwwlk.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ (#‘𝐴) = 𝑁}
4		clwlksfclwwlk.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝐶 ↦ (𝐵 substr ⟨0, (#‘𝐴)⟩))
5	1, 2, 3, 4	clwlksf1clwwlk 26969	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝐹:𝐶–1-1→(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
6	1, 2, 3, 4	clwlksfoclwwlk 26963	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝐹:𝐶–onto→(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
7		df-f1o 5895	. 2 ⊢ (𝐹:𝐶–1-1-onto→(𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝐹:𝐶–1-1→(𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐹:𝐶–onto→(𝑁 ClWWalksN 𝐺)))
8	5, 6, 7	sylanbrc 698	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝐹:𝐶–1-1-onto→(𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916  ⟨cop 4183   ↦ cmpt 4729  –1-1→wf1 5885  –onto→wfo 5886  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1^st c1st 7166  2^nd c2nd 7167  0cc0 9936  #chash 13117   substr csubstr 13295  ℙcprime 15385   FinUSGraph cfusgr 26208  ClWalkscclwlks 26666   ClWWalksN cclwwlksn 26876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-upgr 25977  df-uspgr 26045  df-usgr 26046  df-fusgr 26209  df-wlks 26495  df-clwlks 26667  df-clwwlks 26877  df-clwwlksn 26878

This theorem is referenced by:  clwlkssizeeq  26971