Theorem cntzspan 18247

Description: If the generators commute, the generated monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzspan.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
cntzspan.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
cntzspan.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s (𝐾‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
cntzspan	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → 𝐻 ∈ CMnd)

Proof of Theorem cntzspan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	submacs 17365	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
3	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
4	3	acsmred 16317	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
5		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
6		cntzspan.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
7	1, 6	cntzssv 17761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
8	5, 7	syl6ss 3615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
9	1, 6	cntzsubm 17768	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
10	8, 9	syldan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
11		cntzspan.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
12	11	mrcsscl 16280	. . . . 5 ⊢ (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ (𝑍‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐾‘𝑆) ⊆ (𝑍‘𝑆))
13	4, 5, 10, 12	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → (𝐾‘𝑆) ⊆ (𝑍‘𝑆))
14	4, 11	mrcssvd 16283	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → (𝐾‘𝑆) ⊆ (Base‘𝐺))
15	1, 6	cntzrec 17766	. . . . 5 ⊢ (((𝐾‘𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝐾‘𝑆) ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾‘𝑆))))
16	14, 8, 15	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → ((𝐾‘𝑆) ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾‘𝑆))))
17	13, 16	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾‘𝑆)))
18	1, 6	cntzsubm 17768	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐾‘𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝐾‘𝑆)) ∈ (SubMnd‘𝐺))
19	14, 18	syldan 487	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → (𝑍‘(𝐾‘𝑆)) ∈ (SubMnd‘𝐺))
20	11	mrcsscl 16280	. . 3 ⊢ (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾‘𝑆)) ∧ (𝑍‘(𝐾‘𝑆)) ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐾‘𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾‘𝑆)))
21	4, 17, 19, 20	syl3anc 1326	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → (𝐾‘𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾‘𝑆)))
22	11	mrccl 16271	. . . 4 ⊢ (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
23	4, 8, 22	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → (𝐾‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
24		cntzspan.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s (𝐾‘𝑆))
25	24, 6	submcmn2 18244	. . 3 ⊢ ((𝐾‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ (𝐾‘𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾‘𝑆))))
26	23, 25	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ (𝐾‘𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾‘𝑆))))
27	21, 26	mpbird 247	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → 𝐻 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  Moorecmre 16242  mrClscmrc 16243  ACScacs 16245  Mndcmnd 17294  SubMndcsubmnd 17334  Cntzccntz 17748  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-cmn 18195

This theorem is referenced by:  gsumzsplit  18327  gsumzoppg  18344  gsumpt  18361