Theorem cshwidxn 13555

Description: The symbol at index (n-1) of a word of length n (not 0) cyclically shifted by N positions (not 0) is the symbol at index (N-1) of the original word. (Contributed by AV, 18-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidxn	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem cshwidxn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		elfzelz 12342	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		elfz1b 12409	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)))
5		simp2 1062	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
6	4, 5	sylbi 207	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
7	6	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
8		fzo0end 12560	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
10		cshwidxmod 13549	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((((#‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
11	1, 3, 9, 10	syl3anc 1326	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((((#‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
12		nncn 11028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
14		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
15		nncn 11028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17	13, 14, 16	3jca 1242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → ((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
18	17	3adant3 1081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
19	4, 18	sylbi 207	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
20		subadd23 10293	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((#‘𝑊) − 1) + 𝑁) = ((#‘𝑊) + (𝑁 − 1)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) + 𝑁) = ((#‘𝑊) + (𝑁 − 1)))
22	21	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)) = (((#‘𝑊) + (𝑁 − 1)) mod (#‘𝑊)))
23		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
24	23	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
25		simp3 1063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → 𝑁 ≤ (#‘𝑊))
26		nnz 11399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
27		nnz 11399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
28	26, 27	anim12i 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ))
29	28	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ))
30		zlem1lt 11429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (#‘𝑊) ↔ (𝑁 − 1) < (#‘𝑊)))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑁 ≤ (#‘𝑊) ↔ (𝑁 − 1) < (#‘𝑊)))
32	25, 31	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑁 − 1) < (#‘𝑊))
33	24, 5, 32	3jca 1242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (#‘𝑊)))
34	4, 33	sylbi 207	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (#‘𝑊)))
35		addmodid 12718	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) + (𝑁 − 1)) mod (#‘𝑊)) = (𝑁 − 1))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) + (𝑁 − 1)) mod (#‘𝑊)) = (𝑁 − 1))
37	22, 36	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)) = (𝑁 − 1))
38	37	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) → (𝑊‘((((#‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
39	38	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊))) → (𝑊‘((((#‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
40	11, 39	eqtrd 2656	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668  #chash 13117  Word cword 13291   cyclShift ccsh 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-csh 13535

This theorem is referenced by:  lswcshw  13561