Theorem nnm1nn0 11334

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 11040	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2		oveq1 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
3		1m1e0 11089	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
4	2, 3	syl6eq 2672	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
5	4	orim1i 539	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
7	6	orcomd 403	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
8		elnn0 11294	. 2 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
9	7, 8	sylibr 224	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  elnn0nn  11335  nn0n0n1ge2  11358  nnaddm1cl  11434  fseq1m1p1  12415  elfznelfzo  12573  nn0ennn  12778  expm1t  12888  expgt1  12898  digit1  12998  bcn1  13100  bcm1k  13102  bcn2m1  13111  swrdccatwrd  13468  cshwidxn  13555  isercoll2  14399  iseralt  14415  binomlem  14561  incexc  14569  incexc2  14570  arisum  14592  arisum2  14593  mertenslem2  14617  risefallfac  14755  fallfacfwd  14767  0fallfac  14768  bpolydiflem  14785  ruclem12  14970  iddvdsexp  15005  dvdsfac  15048  oexpneg  15069  pwp1fsum  15114  bitsfzolem  15156  bitsf1  15168  phibnd  15476  phiprmpw  15481  prmdiv  15490  oddprm  15515  iserodd  15540  fldivp1  15601  prmpwdvds  15608  4sqlem12  15660  4sqlem19  15667  vdwapid1  15679  vdwlem1  15685  vdwlem3  15687  vdwlem5  15689  vdwlem6  15690  vdwlem9  15693  0ram  15724  ram0  15726  ramub1lem1  15730  ramub1lem2  15731  ramcl  15733  prmonn2  15743  1259lem5  15842  2503lem3  15846  4001lem4  15851  gsumwsubmcl  17375  gsumccat  17378  gsumwmhm  17382  sylow1lem1  18013  efgsrel  18147  efgredlem  18160  srgbinomlem4  18543  chfacfisf  20659  chfacfisfcpmat  20660  cpmadugsumlemF  20681  lebnumii  22765  ovolunlem1  23265  dvexp  23716  dgreq0  24021  dvply1  24039  vieta1lem2  24066  aaliou3lem8  24100  dvtaylp  24124  taylthlem1  24127  pserdvlem2  24182  pserdv2  24184  abelthlem6  24190  logtayl  24406  logtayl2  24408  cxpeq  24498  leibpilem1  24667  gamfac  24793  wilthlem1  24794  wilthlem2  24795  wilthlem3  24796  wilth  24797  wilthimp  24798  ftalem1  24799  basellem5  24811  1sgm2ppw  24925  chtublem  24936  perfect1  24953  perfect  24956  bcmono  25002  lgslem1  25022  lgsquadlem1  25105  lgsquad2lem2  25110  m1lgs  25113  selberg2lem  25239  logdivbnd  25245  pntrsumo1  25254  cusgrsize2inds  26349  cusgrrusgr  26477  pthdlem2  26664  crctcshwlkn0lem4  26705  wlkiswwlks2lem1  26755  wlkiswwlksupgr2  26763  clwlkclwwlklem2a2  26894  clwwlksel  26914  wwlksubclwwlks  26925  clwwlksnwwlksn  27209  fibp1  30463  plymulx0  30624  plymulx  30625  signstfvn  30646  signsvtn0  30647  subfacp1lem6  31167  erdszelem10  31182  erdsze2lem1  31185  erdsze2lem2  31186  cvmliftlem2  31268  bcprod  31624  poimirlem5  33414  poimirlem6  33415  poimirlem7  33416  poimirlem10  33419  poimirlem11  33420  poimirlem13  33422  poimirlem14  33423  poimirlem20  33429  poimirlem21  33430  poimirlem22  33431  poimirlem23  33432  poimirlem25  33434  poimirlem26  33435  poimirlem31  33440  irrapxlem1  37386  rmspecsqrtnq  37470  rmspecsqrtnqOLD  37471  jm2.24nn  37526  jm2.17a  37527  acongeq  37550  jm2.18  37555  jm2.22  37562  jm2.23  37563  jm2.20nn  37564  jm2.27c  37574  bccm1k  38541  binomcxplemwb  38547  binomcxplemnotnn0  38555  dvsinexp  40125  dvxpaek  40155  dvnxpaek  40157  itgsinexplem1  40169  itgsinexp  40170  wallispilem5  40286  stirlinglem5  40295  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem52  40375  fourierdlem54  40377  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  etransclem1  40452  etransclem4  40455  etransclem8  40459  etransclem10  40461  etransclem14  40465  etransclem15  40466  etransclem17  40468  etransclem18  40469  etransclem19  40470  etransclem20  40471  etransclem21  40472  etransclem22  40473  etransclem23  40474  etransclem24  40475  etransclem27  40478  etransclem28  40479  etransclem32  40483  etransclem35  40486  etransclem37  40488  etransclem38  40489  etransclem41  40492  etransclem44  40495  etransclem45  40496  etransclem46  40497  etransclem47  40498  etransclem48  40499  lswn0  41380  fmtnoodd  41445  sqrtpwpw2p  41450  fmtnosqrt  41451  fmtnodvds  41456  fmtnorec3  41460  fmtnorec4  41461  pwdif  41501  2pwp1prm  41503  lighneallem3  41524  lighneallem4a  41525  lighneallem4  41527  oexpnegALTV  41588  perfectALTV  41632  bgoldbtbndlem4  41696  bcpascm1  42129  altgsumbcALT  42131  pw2m1lepw2m1  42310  nnpw2even  42323  logbpw2m1  42361  nnpw2blenfzo  42375  nnpw2pmod  42377  nnpw2p  42380  nnolog2flm1  42384  dignn0fr  42395  dig2nn1st  42399  digexp  42401  dignn0flhalflem1  42409