Theorem dgrsub 24028

Description: The degree of a difference of polynomials is at most the maximum of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrsub.1	⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
dgrsub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dgrsub	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)) ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))

Proof of Theorem dgrsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 23956	. . . 4 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2	1	sseli 3599	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
3		ssid 3624	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
4		neg1cn 11124	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		plyconst 23962	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ))
6	3, 4, 5	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ)
7	1	sseli 3599	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
8		plymulcl 23977	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
9	6, 7, 8	sylancr 695	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
10		dgrsub.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
11		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))
12	10, 11	dgradd 24023	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀))
13	2, 9, 12	syl2an 494	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀))
14		plyf 23954	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
15		plyf 23954	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
16		cnex 10017	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
17		ofnegsub 11018	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹 ∘𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))
18	16, 17	mp3an1 1411	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹 ∘𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))
19	14, 15, 18	syl2an 494	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))
20	19	fveq2d 6195	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))) = (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)))
21		neg1ne0 11126	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
22		dgrmulc 24027	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (deg‘𝐺))
23	4, 21, 22	mp3an12 1414	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (deg‘𝐺))
24		dgrsub.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)
25	23, 24	syl6eqr 2674	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = 𝑁)
26	25	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = 𝑁)
27	26	breq2d 4665	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
28	27, 26	ifbieq1d 4109	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀) = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
29	13, 20, 28	3brtr3d 4684	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)) ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ifcif 4086  {csn 4177   class class class wbr 4653   × cxp 5112  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267  Polycply 23940  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947

This theorem is referenced by:  dgrcolem2  24030  plydivlem4  24051  plydiveu  24053  dgrsub2  37705