Theorem plydivlem4 24051

Description: Lemma for plydivex 24052. Induction step. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))
plydiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
plydiv.e	⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) = 𝐷)
plydiv.fz	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
plydiv.u	⊢ 𝑈 = (𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))
plydiv.h	⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) · (𝑧↑𝐷)))
plydiv.al	⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)))
plydiv.a	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
plydiv.b	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)
plydiv.m	⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
plydiv.n	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
plydivlem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑓,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑓,𝐻,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝐷,𝑓,𝑧   𝑥,𝑀,𝑦,𝑧   𝑓,𝑁,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑝,𝑥,𝑦   𝑆,𝑓,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑞)   𝐴(𝑓,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑓,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑞,𝑝)   𝑅(𝑧,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑞,𝑝)   𝑀(𝑓,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem plydivlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plybss 23950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
4		plydiv.pl	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5		plydiv.tm	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
6		plydiv.rc	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
7		plydiv.m1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
8	4, 5, 6, 7	plydivlem1 24048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
9		plydiv.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
10	9	coef2 23987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶𝑆)
11	1, 8, 10	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶𝑆)
12		plydiv.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
13		dgrcl 23989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
15	12, 14	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
16	11, 15	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) ∈ 𝑆)
17	3, 16	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) ∈ ℂ)
18		plydiv.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
19		plydiv.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)
20	19	coef2 23987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐵:ℕ0⟶𝑆)
21	18, 8, 20	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶𝑆)
22		plydiv.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)
23		dgrcl 23989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
25	22, 24	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
26	21, 25	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆)
27	3, 26	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑁) ∈ ℂ)
28		plydiv.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
29	22, 19	dgreq0 24021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 = 0𝑝 ↔ (𝐵‘𝑁) = 0))
30	18, 29	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = 0𝑝 ↔ (𝐵‘𝑁) = 0))
31	30	necon3bid 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐵‘𝑁) ≠ 0))
32	28, 31	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑁) ≠ 0)
33	17, 27, 32	divrecd 10804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) = ((𝐴‘𝑀) · (1 / (𝐵‘𝑁))))
34		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵‘𝑁) ∈ V
35		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆))
36		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝐵‘𝑁) ≠ 0))
37	35, 36	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0) ↔ ((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0)))
38	37	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0))))
39		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐵‘𝑁)))
40	39	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆))
41	38, 40	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐵‘𝑁) → (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0)) → (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆)))
42	34, 41, 6	vtocl 3259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0)) → (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆)
43	42	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐵‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵‘𝑁) ≠ 0) → (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆))
44	26, 32, 43	mp2and 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆)
45	5, 16, 44	caovcld 6827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) · (1 / (𝐵‘𝑁))) ∈ 𝑆)
46	33, 45	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆)
47		plydiv.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
48		plydiv.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) · (𝑧↑𝐷)))
49	48	ply1term 23960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
50	3, 46, 47, 49	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
51	50	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
52		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
53	4	adantlr 751	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
54	51, 52, 53	plyadd 23973	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
55	54	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)) → (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
56		cnex 10017	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ℂ ∈ V)
58	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
59		plyf 23954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
61		mulcl 10020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
62	61	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
63		plyf 23954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐻:ℂ⟶ℂ)
64	51, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻:ℂ⟶ℂ)
65	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
66		plyf 23954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
68		inidm 3822	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
69	62, 64, 67, 57, 57, 68	off 6912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺):ℂ⟶ℂ)
70		plyf 23954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
71	70	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
72	62, 67, 71, 57, 57, 68	off 6912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
73		subsub4 10314	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) − 𝑧) = (𝑥 − (𝑦 + 𝑧)))
74	73	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 − 𝑦) − 𝑧) = (𝑥 − (𝑦 + 𝑧)))
75	57, 60, 69, 72, 74	caofass 6931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = (𝐹 ∘𝑓 − ((𝐻 ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))))
76		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
78	57, 64, 67, 77	caofcom 6929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺) = (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻))
79	78	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐻 ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)))
80		adddi 10025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
82	57, 67, 64, 71, 81	caofdi 6933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)) = ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)))
83	79, 82	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐻 ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))
84	83	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘𝑓 − ((𝐻 ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))))
85	75, 84	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))))
86	85	eqeq1d 2624	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝))
87	85	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) = (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))))
88	87	breq1d 4663	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁 ↔ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁))
89	86, 88	orbi12d 746	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁) ↔ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁)))
90	89	biimpa 501	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)) → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁))
91		plydiv.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))
92		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) → (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞) = (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))
93	92	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) → (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))))
94	91, 93	syl5eq 2668	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) → 𝑅 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))))
95	94	eqeq1d 2624	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝))
96	94	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))))
97	96	breq1d 4663	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) → ((deg‘𝑅) < 𝑁 ↔ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁))
98	95, 97	orbi12d 746	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁) ↔ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁)))
99	98	rspcev 3309	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∘𝑓 + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐻 ∘𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
100	55, 90, 99	syl2anc 693	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
101	50, 18, 4, 5	plymul 23974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
102	1, 101, 4, 5, 7	plysub 23975	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆))
103		plydiv.al	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)))
104		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))
105	12, 104	dgrsub 24028	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀))
106	1, 101, 105	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀))
107		plydiv.fz	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
108	12, 9	dgreq0 24021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑀) = 0))
109	1, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑀) = 0))
110	109	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑀) ≠ 0))
111	107, 110	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) ≠ 0)
112	17, 27, 111, 32	divne0d 10817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ≠ 0)
113	3, 46	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ ℂ)
114	48	coe1term 24015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)), 0))
115	113, 47, 47, 114	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)), 0))
116		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = 𝐷
117	116	iftruei 4093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)), 0) = ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁))
118	115, 117	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)))
119		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
120	119	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝐷) = 0)
121	47, 120	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℕ0 × {0})‘𝐷) = 0)
122	112, 118, 121	3netr4d 2871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) ≠ ((ℕ0 × {0})‘𝐷))
123		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻 = 0𝑝 → (coeff‘𝐻) = (coeff‘0𝑝))
124		coe0 24012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
125	123, 124	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 = 0𝑝 → (coeff‘𝐻) = (ℕ0 × {0}))
126	125	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 = 0𝑝 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = ((ℕ0 × {0})‘𝐷))
127	126	necon3i 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coeff‘𝐻)‘𝐷) ≠ ((ℕ0 × {0})‘𝐷) → 𝐻 ≠ 0𝑝)
128	122, 127	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 0𝑝)
129		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘𝐻) = (deg‘𝐻)
130	129, 22	dgrmul 24026	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐻 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = ((deg‘𝐻) + 𝑁))
131	50, 128, 18, 28, 130	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = ((deg‘𝐻) + 𝑁))
132	48	dgr1term 24016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (deg‘𝐻) = 𝐷)
133	113, 112, 47, 132	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐻) = 𝐷)
134		plydiv.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) = 𝐷)
135	133, 134	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐻) = (𝑀 − 𝑁))
136	135	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝐻) + 𝑁) = ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁))
137	15	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
138	25	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
139	137, 138	npcand 10396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
140	136, 139	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝐻) + 𝑁) = 𝑀)
141	131, 140	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 𝑀)
142	141	ifeq1d 4104	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀) = if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀, 𝑀))
143		ifid 4125	. . . . . 6 ⊢ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀, 𝑀) = 𝑀
144	142, 143	syl6eq 2672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀) = 𝑀)
145	106, 144	breqtrd 4679	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀)
146		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))
147	9, 146	coesub 24013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) = (𝐴 ∘𝑓 − (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))))
148	1, 101, 147	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coeff‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) = (𝐴 ∘𝑓 − (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))))
149	148	fveq1d 6193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴 ∘𝑓 − (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑀))
150	9	coef3 23988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
151		ffn 6045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶ℂ → 𝐴 Fn ℕ0)
152	1, 150, 151	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn ℕ0)
153	146	coef3 23988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)):ℕ0⟶ℂ)
154		ffn 6045	. . . . . . . 8 ⊢ ((coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)):ℕ0⟶ℂ → (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) Fn ℕ0)
155	101, 153, 154	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) Fn ℕ0)
156		nn0ex 11298	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
157	156	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
158		inidm 3822	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
159		eqidd 2623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑀) = (𝐴‘𝑀))
160		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coeff‘𝐻) = (coeff‘𝐻)
161	160, 19, 129, 22	coemulhi 24010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵‘𝑁)))
162	50, 18, 161	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵‘𝑁)))
163	140	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = ((coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑀))
164	133	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) = ((coeff‘𝐻)‘𝐷))
165	164, 118	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) = ((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)))
166	165	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵‘𝑁)) = (((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) · (𝐵‘𝑁)))
167	17, 27, 32	divcan1d 10802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝑀) / (𝐵‘𝑁)) · (𝐵‘𝑁)) = (𝐴‘𝑀))
168	166, 167	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵‘𝑁)) = (𝐴‘𝑀))
169	162, 163, 168	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑀) = (𝐴‘𝑀))
170	169	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑀) = (𝐴‘𝑀))
171	152, 155, 157, 157, 158, 159, 170	ofval 6906	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∘𝑓 − (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴‘𝑀) − (𝐴‘𝑀)))
172	15, 171	mpdan 702	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∘𝑓 − (coeff‘(𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴‘𝑀) − (𝐴‘𝑀)))
173	17	subidd 10380	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑀) − (𝐴‘𝑀)) = 0)
174	149, 172, 173	3eqtrd 2660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)
175		dgrcl 23989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ ℕ0)
176	102, 175	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ ℕ0)
177	176	nn0red 11352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ ℝ)
178	15	nn0red 11352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
179	25	nn0red 11352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
180	177, 178, 179	ltsub1d 10636	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < (𝑀 − 𝑁)))
181	134	breq2d 4665	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < (𝑀 − 𝑁) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
182	180, 181	bitrd 268	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
183	182	orbi2d 738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷)))
184		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) = (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))
185		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (coeff‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) = (coeff‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))
186	184, 185	dgrlt 24022	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
187	102, 15, 186	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
188	183, 187	bitr3d 270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
189	145, 174, 188	mpbir2and 957	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
190		eqeq1 2626	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → (𝑓 = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝))
191		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → (deg‘𝑓) = (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))))
192	191	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → ((deg‘𝑓) − 𝑁) = ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁))
193	192	breq1d 4663	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → (((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷 ↔ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
194	190, 193	orbi12d 746	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) ↔ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷)))
195		plydiv.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))
196		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → (𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)))
197	195, 196	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → 𝑈 = ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)))
198	197	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → (𝑈 = 0𝑝 ↔ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝))
199	197	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → (deg‘𝑈) = (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))))
200	199	breq1d 4663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → ((deg‘𝑈) < 𝑁 ↔ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁))
201	198, 200	orbi12d 746	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → ((𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁) ↔ (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)))
202	201	rexbidv 3052	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → (∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)))
203	194, 202	imbi12d 334	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)) ↔ (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁))))
204	203	rspcv 3305	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)) → (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁))))
205	102, 103, 189, 204	syl3c 66	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹 ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < 𝑁))
206	100, 205	r19.29a 3078	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ifcif 4086  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  ℕ₀cn0 11292  ↑cexp 12860  0_𝑝c0p 23436  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947

This theorem is referenced by:  plydivex  24052