Theorem plydiveu 24053

Description: Lemma for plydivalg 24054. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))
plydiveu.q	⊢ (𝜑 → 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiveu.qd	⊢ (𝜑 → (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
plydiveu.t	⊢ 𝑇 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))
plydiveu.p	⊢ (𝜑 → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiveu.pd	⊢ (𝜑 → (𝑇 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)))

Assertion

Ref	Expression
plydiveu	⊢ (𝜑 → 𝑝 = 𝑞)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑞,𝑝,𝑥,𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝐺,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝑅,𝑝,𝑥,𝑦   𝑆,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞,𝑝)   𝑅(𝑞)   𝑇(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem plydiveu

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idd 24	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) = 0𝑝 → (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) = 0𝑝))
2		plydiveu.q	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plydiv.pl	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
4		plydiv.tm	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
5		plydiv.rc	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
6		plydiv.m1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
7		plydiv.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
8		plydiv.g	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
9		plydiv.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
10		plydiv.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	plydivlem2 24049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑅 ∈ (Poly‘𝑆))
12	2, 11	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (Poly‘𝑆))
13		plydiveu.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
14		plydiveu.t	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑇 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))
15	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14	plydivlem2 24049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆))
16	13, 15	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆))
17	12, 16, 3, 4, 6	plysub 23975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∘𝑓 − 𝑇) ∈ (Poly‘𝑆))
18		dgrcl 23989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∘𝑓 − 𝑇) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) ∈ ℕ0)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) ∈ ℕ0)
20	19	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) ∈ ℝ)
21		dgrcl 23989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑇) ∈ ℕ0)
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) ∈ ℕ0)
23	22	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) ∈ ℝ)
24		dgrcl 23989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑅) ∈ ℕ0)
25	12, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑅) ∈ ℕ0)
26	25	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑅) ∈ ℝ)
27	23, 26	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ∈ ℝ)
28		dgrcl 23989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
29	8, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
30	29	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (deg‘𝑅) = (deg‘𝑅)
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (deg‘𝑇) = (deg‘𝑇)
33	31, 32	dgrsub 24028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) ≤ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)))
34	12, 16, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) ≤ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)))
35		plydiveu.pd	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑇 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)))
36		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (coeff‘𝑇) = (coeff‘𝑇)
37	32, 36	dgrlt 24022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → ((𝑇 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
38	16, 29, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
39	35, 38	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0))
40	39	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺))
41		plydiveu.qd	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
42		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (coeff‘𝑅) = (coeff‘𝑅)
43	31, 42	dgrlt 24022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
44	12, 29, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
45	41, 44	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0))
46	45	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺))
47		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((deg‘𝑇) = if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) → ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ↔ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺)))
48		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((deg‘𝑅) = if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) → ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ↔ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺)))
49	47, 48	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺)) → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺))
50	40, 46, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺))
51	20, 27, 30, 34, 50	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) ≤ (deg‘𝐺))
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) ≤ (deg‘𝐺))
53	13, 2, 3, 4, 6	plysub 23975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
54		dgrcl 23989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝑝 ∘𝑓 − 𝑞)) ∈ ℕ0)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑝 ∘𝑓 − 𝑞)) ∈ ℕ0)
56		nn0addge1 11339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((deg‘𝐺) ∈ ℝ ∧ (deg‘(𝑝 ∘𝑓 − 𝑞)) ∈ ℕ0) → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘𝑓 − 𝑞))))
57	30, 55, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘𝑓 − 𝑞))))
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘𝑓 − 𝑞))))
59		plyf 23954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
60	7, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
61	60	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
62	8, 2, 3, 4	plymul 23974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
63		plyf 23954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞):ℂ⟶ℂ)
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞):ℂ⟶ℂ)
65	64	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)‘𝑧) ∈ ℂ)
66	8, 13, 3, 4	plymul 23974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
67		plyf 23954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
69	68	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)‘𝑧) ∈ ℂ)
70	61, 65, 69	nnncan1d 10426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)‘𝑧))) = (((𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)‘𝑧)))
71	70	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)‘𝑧))))
72		cnex 10017	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℂ ∈ V
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
74	61, 65	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)‘𝑧)) ∈ ℂ)
75	61, 69	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)‘𝑧)) ∈ ℂ)
76	60	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑧)))
77	64	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)‘𝑧)))
78	73, 61, 65, 76, 77	offval2 6914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)‘𝑧))))
79	10, 78	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)‘𝑧))))
80	68	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)‘𝑧)))
81	73, 61, 69, 76, 80	offval2 6914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)‘𝑧))))
82	14, 81	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)‘𝑧))))
83	73, 74, 75, 79, 82	offval2 6914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∘𝑓 − 𝑇) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)‘𝑧)))))
84	73, 69, 65, 80, 77	offval2 6914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑝) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)‘𝑧))))
85	71, 83, 84	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∘𝑓 − 𝑇) = ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑝) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)))
86		plyf 23954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
87	8, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
88		plyf 23954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
89	13, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
90		plyf 23954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑞:ℂ⟶ℂ)
91	2, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑞:ℂ⟶ℂ)
92		subdi 10463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
94	73, 87, 89, 91, 93	caofdi 6933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞)) = ((𝐺 ∘𝑓 · 𝑝) ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)))
95	85, 94	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∘𝑓 − 𝑇) = (𝐺 ∘𝑓 · (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞)))
96	95	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) = (deg‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞))))
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) = (deg‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞))))
98	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
99	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
100	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝) → (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
101		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝) → (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝)
102		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (deg‘𝐺) = (deg‘𝐺)
103		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (deg‘(𝑝 ∘𝑓 − 𝑞)) = (deg‘(𝑝 ∘𝑓 − 𝑞))
104	102, 103	dgrmul 24026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) ∧ ((𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘𝑓 − 𝑞))))
105	98, 99, 100, 101, 104	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘𝑓 − 𝑞))))
106	97, 105	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘𝑓 − 𝑞))))
107	58, 106	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)))
108	20, 30	letri3d 10179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) = (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)))))
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝) → ((deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) = (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)))))
110	52, 107, 109	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) = (deg‘𝐺))
111	110	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝) → ((coeff‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇))) = ((coeff‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇))‘(deg‘𝐺)))
112	42, 36	coesub 24013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) = ((coeff‘𝑅) ∘𝑓 − (coeff‘𝑇)))
113	12, 16, 112	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (coeff‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) = ((coeff‘𝑅) ∘𝑓 − (coeff‘𝑇)))
114	113	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (((coeff‘𝑅) ∘𝑓 − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)))
115	42	coef3 23988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝑅):ℕ0⟶ℂ)
116		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((coeff‘𝑅):ℕ0⟶ℂ → (coeff‘𝑅) Fn ℕ0)
117	12, 115, 116	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝑅) Fn ℕ0)
118	36	coef3 23988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝑇):ℕ0⟶ℂ)
119		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((coeff‘𝑇):ℕ0⟶ℂ → (coeff‘𝑇) Fn ℕ0)
120	16, 118, 119	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝑇) Fn ℕ0)
121		nn0ex 11298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 ∈ V
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
123		inidm 3822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
124	45	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)
126	39	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)
128	117, 120, 122, 122, 123, 125, 127	ofval 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → (((coeff‘𝑅) ∘𝑓 − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
129	29, 128	mpdan 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝑅) ∘𝑓 − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
130	114, 129	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
131		0m0e0 11130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 0) = 0
132	130, 131	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇))‘(deg‘𝐺)) = 0)
133	132	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝) → ((coeff‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇))‘(deg‘𝐺)) = 0)
134	111, 133	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝) → ((coeff‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇))) = 0)
135		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) = (deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇))
136		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coeff‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇)) = (coeff‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇))
137	135, 136	dgreq0 24021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∘𝑓 − 𝑇) ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝑅 ∘𝑓 − 𝑇) = 0𝑝 ↔ ((coeff‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇))) = 0))
138	17, 137	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∘𝑓 − 𝑇) = 0𝑝 ↔ ((coeff‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇))) = 0))
139	138	biimpar 502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coeff‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘𝑓 − 𝑇))) = 0) → (𝑅 ∘𝑓 − 𝑇) = 0𝑝)
140	134, 139	syldan 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝) → (𝑅 ∘𝑓 − 𝑇) = 0𝑝)
141	140	ex 450	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝 → (𝑅 ∘𝑓 − 𝑇) = 0𝑝))
142		plymul0or 24036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐺 ∘𝑓 · (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) = 0𝑝)))
143	8, 53, 142	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘𝑓 · (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) = 0𝑝)))
144	95	eqeq1d 2624	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∘𝑓 − 𝑇) = 0𝑝 ↔ (𝐺 ∘𝑓 · (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞)) = 0𝑝))
145	9	neneqd 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐺 = 0𝑝)
146		biorf 420	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐺 = 0𝑝 → ((𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) = 0𝑝)))
147	145, 146	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) = 0𝑝)))
148	143, 144, 147	3bitr4d 300	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∘𝑓 − 𝑇) = 0𝑝 ↔ (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) = 0𝑝))
149	141, 148	sylibd 229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) ≠ 0𝑝 → (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) = 0𝑝))
150	1, 149	pm2.61dne 2880	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) = 0𝑝)
151		df-0p 23437	. . 3 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
152	150, 151	syl6eq 2672	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) = (ℂ × {0}))
153		ofsubeq0 11017	. . 3 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑝:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑞:ℂ⟶ℂ) → ((𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) = (ℂ × {0}) ↔ 𝑝 = 𝑞))
154	73, 89, 91, 153	syl3anc 1326	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘𝑓 − 𝑞) = (ℂ × {0}) ↔ 𝑝 = 𝑞))
155	152, 154	mpbid 222	1 ⊢ (𝜑 → 𝑝 = 𝑞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200  ifcif 4086  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  ℕ₀cn0 11292  0_𝑝c0p 23436  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947

This theorem is referenced by:  plydivalg  24054