Proof of Theorem divalgb
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | zsubcl 11419 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑟) ∈ ℤ) |
2 | | divides 14985 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑟) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟))) |
3 | 1, 2 | sylan2 491 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟))) |
4 | 3 | 3impb 1260 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟))) |
5 | 4 | 3com12 1269 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟))) |
6 | | zcn 11382 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈
ℂ) |
7 | | zcn 11382 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑟 ∈ ℤ → 𝑟 ∈
ℂ) |
8 | | zmulcl 11426 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ) |
9 | 8 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) |
10 | | subadd 10284 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁)) |
11 | 6, 7, 9, 10 | syl3an 1368 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑁 − 𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁)) |
12 | | addcom 10222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) |
13 | 7, 9, 12 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) |
14 | 13 | 3adant1 1079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) |
15 | 14 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁 ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = 𝑁)) |
16 | 11, 15 | bitrd 268 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑁 − 𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = 𝑁)) |
17 | | eqcom 2629 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑁 − 𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟)) |
18 | | eqcom 2629 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) |
19 | 16, 17, 18 | 3bitr3g 302 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) |
20 | 19 | 3expia 1267 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))) |
21 | 20 | expcomd 454 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∈ ℤ → (𝑞 ∈ ℤ → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))) |
22 | 21 | 3impia 1261 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 ∈ ℤ → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))) |
23 | 22 | imp 445 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) |
24 | 23 | rexbidva 3049 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) →
(∃𝑞 ∈ ℤ
(𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) |
25 | 24 | 3com23 1271 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) →
(∃𝑞 ∈ ℤ
(𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) |
26 | 5, 25 | bitrd 268 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) |
27 | 26 | anbi2d 740 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (((0
≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))) |
28 | | df-3an 1039 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((0 ≤
𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) |
29 | 28 | rexbii 3041 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑞 ∈
ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧
𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) |
30 | | r19.42v 3092 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑞 ∈
ℤ ((0 ≤ 𝑟 ∧
𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) |
31 | 29, 30 | bitri 264 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑞 ∈
ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧
𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) |
32 | 27, 31 | syl6rbbr 279 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) →
(∃𝑞 ∈ ℤ (0
≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))) |
33 | | anass 681 |
. . . . . 6
⊢ (((0 ≤
𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))) |
34 | 32, 33 | syl6bb 276 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) →
(∃𝑞 ∈ ℤ (0
≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))) |
35 | 34 | 3expa 1265 |
. . . 4
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) →
(∃𝑞 ∈ ℤ (0
≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))) |
36 | 35 | reubidva 3125 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) →
(∃!𝑟 ∈ ℤ
∃𝑞 ∈ ℤ (0
≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))) |
37 | | elnn0z 11390 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑟 ∈ ℕ0
↔ (𝑟 ∈ ℤ
∧ 0 ≤ 𝑟)) |
38 | 37 | anbi1i 731 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑟 ∈ ℕ0
∧ (𝑟 <
(abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) ↔ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))) |
39 | | anass 681 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤
𝑟) ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))) |
40 | 38, 39 | bitri 264 |
. . . . 5
⊢ ((𝑟 ∈ ℕ0
∧ (𝑟 <
(abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))) |
41 | 40 | eubii 2492 |
. . . 4
⊢
(∃!𝑟(𝑟 ∈ ℕ0
∧ (𝑟 <
(abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) ↔ ∃!𝑟(𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))) |
42 | | df-reu 2919 |
. . . 4
⊢
(∃!𝑟 ∈
ℕ0 (𝑟 <
(abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ ∃!𝑟(𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))) |
43 | | df-reu 2919 |
. . . 4
⊢
(∃!𝑟 ∈
ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧
(𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) ↔ ∃!𝑟(𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))) |
44 | 41, 42, 43 | 3bitr4ri 293 |
. . 3
⊢
(∃!𝑟 ∈
ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧
(𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) |
45 | 36, 44 | syl6bb 276 |
. 2
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) →
(∃!𝑟 ∈ ℤ
∃𝑞 ∈ ℤ (0
≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))) |
46 | 45 | 3adant3 1081 |
1
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))) |