Theorem dvrcn 21987

Description: The division function is continuous in a topological field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
dvrcn.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrcn	⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))

Proof of Theorem dvrcn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2622	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		dvrcn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4		eqid 2622	. . 3 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
5		dvrcn.d	. . 3 ⊢ / = (/r‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	dvrfval 18684	. 2 ⊢ / = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑦)))
7		dvrcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
8		tdrgtrg 21976	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopRing)
9		tdrgtps 21980	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopSp)
10	1, 7	istps 20738	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
11	9, 10	sylib 208	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
12	1, 3	unitss 18660	. . . 4 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)
13		resttopon 20965	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐽 ↾t 𝑈) ∈ (TopOn‘𝑈))
14	11, 12, 13	sylancl 694	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝐽 ↾t 𝑈) ∈ (TopOn‘𝑈))
15	11, 14	cnmpt1st 21471	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))
16	11, 14	cnmpt2nd 21472	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))
17	7, 4, 3	invrcn 21984	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (invr‘𝑅) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))
18	11, 14, 16, 17	cnmpt21f 21475	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((invr‘𝑅)‘𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))
19	7, 2, 8, 11, 14, 15, 18	cnmpt2mulr 21986	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))
20	6, 19	syl5eqel 2705	1 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942   ↾_t crest 16081  TopOpenctopn 16082  Unitcui 18639  inv_rcinvr 18671  /_rcdvr 18682  TopOnctopon 20715  TopSpctps 20736   Cn ccn 21028   ×_t ctx 21363  TopDRingctdrg 21960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-plusf 17241  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-tx 21365  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-trg 21963  df-tdrg 21964

This theorem is referenced by: (None)